中２数学　連立方程式の文章題の解き方（食塩水の濃度）

例題 $9$ %の食塩水 $x\mathrm{g}$ と $4$ %の食塩水 $y\mathrm{g}$ を混ぜて $6$ %の食塩水 $500\mathrm{g}$ を作った。 $(1)$　$6$ %の食塩水 $500\mathrm{g}$ の食塩水に含まれる食塩は何 $\mathrm{g}$ か。 $(2)$　問題に合わせて連立方程式をつくりなさい。 $(3)$　$x,y$ をそれぞれ求めなさい。

$6$ ％はパーセントを外すと $\frac{6}{100}$ となります。また $y$ の $x$ %は $y\times \frac{x}{100}$ となるため、 $6$ %の食塩水 $500\mathrm{g}$ の食塩水に含まれる食塩は

$$\begin{gathered} 500\times \frac{6}{100} \\ =500\times \frac{3}{50} \\ =30 \end{gathered}$$

となります。

$(1)$

$$\begin{gathered} 500\times \frac{6}{100} \\ =500\times \frac{3}{50} \\ =30 \end{gathered}$$

解　…　$30\mathrm{g}$

$(2)$ $9$ %の食塩水 $x\mathrm{g}$ と $4$ %の食塩水 $y\mathrm{g}$ に含まれる食塩はそれぞれ

$$x\times \frac{9}{100}$$

$$y\times \frac{4}{100}$$

であるから、混ぜた後の食塩水の食塩は

$$x\times \frac{9}{100}+y\times \frac{4}{100}$$

となる。これは $(1)$ で求めた $30\mathrm{g}$ であるから

$$x\times \frac{9}{100}+y\times \frac{4}{100}=30$$

という等式が成り立つ。また食塩水の量を比較すると

$$x+y=500$$

である。以上から連立方程式は

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ x\times \frac{9}{100}+y\times \frac{4}{100}=30\end{array}$$

となる。

食塩水の濃度の問題のポイントは「食塩水の比較」と「食塩の比較」です。上の答えではまず最初に「食塩」を比較しています。混ぜる前の食塩を変数を使って表すことができればOK。続いて食塩水の量を比較します。食塩水の濃度問題の連立方程式はほとんど

①混ぜる前の食塩水の合計　＝　混ぜた後の食塩水
②混ぜる前の食塩の合計　＝　混ぜた後の食塩

の二つを式にします。

$(3)$

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ x\times \frac{9}{100}+y\times \frac{4}{100}=30\end{array}$$

下の式を $100$ 倍する。

$$\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 9x+4y=3000\end{array}$$

上の式を $y$ の式にする。

$$\{\begin{array}{l}y=-x+500\\ 9x+4y=3000\end{array}$$

上の式を下の式に代入する。

$$9x+4(-x+500)=3000$$

$$9x-4x+2000=3000$$

$$5x+2000=3000$$

$$5x=1000$$

$$x=200$$

もともとの連立方程式の最初の式 $x+y=500$ から

$$200+y=500$$

$$y=500-200=300$$

となる。

$$\{\begin{array}{l}x=200\\ y=300\end{array}$$