中２数学　連立方程式の文章題の解き方（十の位と一の位を入れかえる問題）

例題 ある整数の各位の和は $13$ である。また十の位と一の位を入れかえた数は、もとの整数の $2$ 倍より $4$ 小さい。 $(1)$　十の位を $x$ 、一の位を $y$ として、もとの整数を文字式で表しなさい。 $(2)$　問題に合うように連立方程式をつくりなさい。 $(3)$　もとの整数を求めなさい。

$(1)$ $$10x+y$$

$(2)$ 十の位を $x$ 、一の位を $y$ とすると、各位の和は $x+y$ であり、問題から $13$ である。したがって $$x+y=13$$ となる。またもとの整数の十の位と一の位を入れかえた整数は $yx$ であり、文字式で表すと $10y+x$ である。この入れかえた整数はもとの整数の $2$ 倍より $4$ 小さいから $$10y+x=2(10x+y)-4$$ となる。したがって求める連立方程式は $$\{\begin{array}{l}x+y=13\\ 10y+x=2(10x+y)-4\end{array}$$ となる。

ポイントを整理します。十の位を $x$ 、一の位を $y$ とすると

もとの数　　　…　$xy$
入れかえた数　…　$yx$

であり、文字式で表すと

もとの数　　　…　$10x+y$
入れかえた数　…　$10y+x$

となります。

$(3)$ $$\{\begin{array}{l}x+y=13\\ 10y+x=2(10x+y)-4\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x+y=13\\ 10y+x=20x+2y-4\end{array}$$ $$\{\begin{array}{l}x+y=13\\ 8y=19x-4\end{array}$$ 上の式を $y$ の式にする。 $$\{\begin{array}{l}y=-x+13\\ 8y=19x-4\end{array}$$ 上の式を下の式に代入する。 $$8(-x+13)=19x-4$$ $$-8x+104=19x-4$$ $$-27x=-108$$ $$27x=108$$ $$x=4$$ もとの連立方程式の最初の式 $x+y=13$ から $$y=13-4=9$$ となる。以上からもとの整数は $49$ である。