ローレンツ変換

ローレンツ変換は、異なる慣性系間で時空座標を変換する公式です。特殊相対性理論の数学的な核心であり、時間の遅れやローレンツ収縮はすべてこの変換から導かれます。

ガリレイ変換との比較

ニュートン力学では、座標変換にガリレイ変換を使っていました。

ガリレイ変換

$x^{'} = x - v t$
$t^{'} = t$

時間はどの座標系でも同じ。

ローレンツ変換

$x^{'} = γ (x - v t)$
$t^{'} = γ (t - v x / c^{2})$

時間も座標系によって異なる。

ローレンツ変換では、空間座標 $x$ の変換に時間 $t$ が現れるだけでなく、時間 $t$ の変換に空間座標 $x$ が現れます。時間と空間が混ざり合うのです。

座標系Sに対して、x軸方向に速度 $v$ で移動する座標系S’への変換は次のようになります。

$x^{'} = γ (x - v t)$

$y^{'} = y$

$z^{'} = z$

$t^{'} = γ (t - \frac{v x}{c ^{2}})$

ここで $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ です。

S’からSへの変換は、 $v$ を $- v$ に置き換えるだけです。

$x = γ (x^{'} + v t^{'})$

$t = γ (t^{'} + \frac{v x ^{'}}{c ^{2}})$

これは相対性原理の帰結です。どちらの座標系も対等であり、変換の形は対称的になります。

座標系S’の原点（ $x^{'} = 0$ ）にある時計を考えます。この時計がS’で $Δ t^{'}$ を刻む間に、Sではどれだけの時間が経過するでしょうか。

$x^{'} = 0$ を $x = γ (x^{'} + v t^{'}) = γ v t^{'}$ に代入すると、

$t = γ (t^{'} + \frac{v \cdot 0}{c ^{2}}) = γ t^{'}$

よって $Δ t = γ Δ t^{'}$ となり、時間の遅れの公式が得られます。

S’で静止している長さ $L_{0}$ の棒を考えます。Sから見た長さを測るには、Sにおいて同時刻（ $t =$ 一定）に両端の位置を測定します。

逆変換から $x^{'} = γ (x - v t)$ なので、 $t$ を固定すると $Δ x^{'} = γ Δ x$ です。

$Δ x^{'} = L_{0}$ （固有長）、 $Δ x = L$ （観測される長さ）とすると、

$L_{0} = γ L \Rightarrow L = \frac{L _{0}}{γ}$

これがローレンツ収縮の公式です。

ローレンツ変換は行列を使うとすっきり書けます。

$(c t^{'} x^{'}) = (γ - β γ - β γ γ) (c t x)$

ここで $β = v / c$ です。この行列は「ローレンツブースト」と呼ばれ、時空における回転の一種とみなせます。