時空の曲率と計量テンソル

一般相対性理論では、重力は時空の曲がりとして記述されます。その曲がり具合を数学的に表現するのが計量テンソルであり、曲がりの度合いを測るのが曲率テンソルです。

計量テンソルとは

計量テンソル $g_{\mu \nu }$ は、時空上の2点間の「距離」を定義するものです。微小な時空間隔は、

$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

と書けます。平坦な時空（ミンコフスキー時空）では $g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }$ となり、

$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$$

ですが、重力があると計量テンソルは場所や時間によって変化します。

曲がった空間の例

2次元の曲面で考えてみましょう。

時空も同様に、計量テンソルによって曲がりうる4次元の多様体です。

クリストッフェル記号

曲がった空間では、座標軸の向きが場所によって変わります。この変化を表すのがクリストッフェル記号 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }$ です。

$${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \rho }\left(\frac{\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}\right)$$

クリストッフェル記号は計量テンソルの1階微分から作られ、測地線の方程式や共変微分に現れます。

リーマン曲率テンソル

時空の曲がり具合を直接表すのがリーマン曲率テンソル $R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }$ です。

$$R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda }$$

リッチテンソルとスカラー曲率

リーマンテンソルは成分が多すぎるため、縮約によって簡略化します。

アインシュタインテンソル $G_{\mu \nu }$ は、アインシュタイン方程式の左辺に現れます。

物理的解釈

曲率テンソルは、潮汐力を表します。

ブラックホール近くでは曲率が極めて大きく、物体は強い潮汐力で引き伸ばされます（スパゲッティ化）。

計量テンソルと曲率テンソルは、一般相対性理論の数学的言語の核心です。これらを使って時空の幾何学を記述し、重力現象を理解します。