アインシュタイン方程式

アインシュタイン方程式は、一般相対性理論の中心となる方程式です。物質とエネルギーがどのように時空を曲げるかを記述します。

方程式の形

アインシュタイン方程式は次のように書けます。

$$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

または宇宙定数 $\Lambda$ を含めた形で、

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

「物質が時空にどう曲がれと命じ、時空が物質にどう動けと命じる」というホイーラーの言葉が、この方程式の本質を表しています。

エネルギー運動量テンソル

$T_{\mu \nu }$ は物質とエネルギーの密度・流れを表す16成分のテンソルです。

完全流体の場合、

$$T_{\mu \nu }=\left(\rho +\frac{p}{c^2}\right)u_{\mu }{u}_{\nu }-p{g}_{\mu \nu }$$

ここで $\rho$ はエネルギー密度、$p$ は圧力、$u^{\mu }$ は4元速度です。

方程式の性質

アインシュタイン方程式は一見単純ですが、実際には10個の連立非線形偏微分方程式です。

ニュートン極限

弱い重力場、低速の運動では、アインシュタイン方程式はニュートンの重力理論に帰着します。

計量テンソルの $g_{00}$ 成分だけが重要になり、

$${\nabla }^2\Phi =4\pi G\rho$$

というポアソン方程式が得られます。これはニュートン力学の重力場の方程式そのものです。

宇宙定数

宇宙定数 $\Lambda$ はアインシュタインが静的宇宙を実現するために導入しましたが、後に宇宙が膨張していることがわかり「生涯最大の過ち」と撤回しました。

しかし1990年代に宇宙の加速膨張が発見され、宇宙定数（またはダークエネルギー）は復活しました。

厳密解

アインシュタイン方程式の厳密解はいくつか知られています。

これらの厳密解から、ブラックホール、重力波、宇宙の膨張など、一般相対性理論の予言が導かれます。