速度の合成則

特殊相対性理論では、速度の足し算が日常の直感とは異なります。ニュートン力学での単純な加算は、光速に近い領域では成り立ちません。

古典的な速度の合成

日常経験では、速度は単純に足し算できます。

しかし、この単純な足し算が成り立つのは、速度が光速に比べて十分に小さい場合だけです。

相対論的な速度の合成則

座標系Sに対して速度 $u$ で動く座標系S’があり、S’内で物体が速度 $v^{\prime }$ で動いているとします。Sから見た物体の速度 $v$ は、

$$v=\frac{u+v^{\prime }}{1+\frac{u{v}^{\prime }}{c^2}}$$

分母の $u{v}^{\prime }/c^2$ が効いてくるため、結果は単純な足し算より小さくなります。

具体例

どんなに大きな速度を足し合わせても、結果は必ず光速未満にとどまります。

光速の場合

光を発射した場合を考えてみましょう。$v^{\prime }=c$ のとき、

$$v=\frac{u+c}{1+\frac{uc}{c^2}}=\frac{u+c}{1+\frac{u}{c}}=\frac{u+c}{\frac{c+u}{c}}=c$$

発射台がどんな速度で動いていても、光の速度は $c$ のままです。これは光速不変の原理と完全に整合しています。

導出

ローレンツ変換から速度の合成則を導出できます。

S’での速度は $v^{\prime }=d{x}^{\prime }/d{t}^{\prime }$ です。ローレンツ変換の微分から、

$$dx=\gamma (d{x}^{\prime }+ud{t}^{\prime })$$

$$dt=\gamma \left(d{t}^{\prime }+\frac{ud{x}^{\prime }}{c^2}\right)$$

これらを割ると、

$$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d{x}^{\prime }+ud{t}^{\prime }}{d{t}^{\prime }+\frac{ud{x}^{\prime }}{c^2}}=\frac{\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+u}{1+\frac{u}{c^2}\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}}=\frac{v^{\prime }+u}{1+\frac{u{v}^{\prime }}{c^2}}$$

低速での近似

$u,v^{\prime }\ll c$ のとき、分母の $u{v}^{\prime }/c^2$ は無視できるほど小さくなり、

$$v\approx u+v^{\prime }$$

日常の速度ではニュートン力学の結果が得られます。相対性理論はニュートン力学を否定するのではなく、その拡張なのです。

ラピディティ

速度の合成が複雑になるのは、速度という量自体が相対論的には扱いにくいためです。「ラピディティ」$\varphi$ を $\tanh \varphi =v/c$ で定義すると、

$$\varphi ={\varphi }_1+{\varphi }_2$$

と単純な足し算になります。ラピディティは、ミンコフスキー時空における「角度」に対応しています。