4元ベクトルと時空間隔

4元ベクトルは、特殊相対性理論を数学的に扱うための基本ツールです。時間と空間を統一的に扱い、ローレンツ変換の下で一定の変換規則に従います。

ミンコフスキー時空

特殊相対性理論では、3次元空間と1次元の時間を合わせた4次元の「時空」を考えます。時空上の点（イベント）は4つの座標で指定されます。

$$x^{\mu }=(ct,x,y,z)=(x^0,x^1,x^2,x^3)$$

$ct$ を使うことで、すべての座標が長さの次元を持ちます。

時空間隔

2つのイベント間の「距離」を測るには、時空間隔を使います。

$$s^2=(c\Delta t{)}^2-(\Delta x{)}^2-(\Delta y{)}^2-(\Delta z{)}^2$$

この量はローレンツ変換の下で不変です。どの慣性系で計算しても同じ値が得られます。

計量テンソル

時空間隔は計量テンソル ${\eta }_{\mu \nu }$ を使って次のように書けます。

$$s^2={\eta }_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }$$

ミンコフスキー計量は、

$${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

符号の規約は文献によって異なり、$(-,+,+,+)$ を使う場合もあります。

4元速度

通常の速度は座標時間で微分したものですが、4元速度は固有時間 $\tau$ で微分します。

$$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }=\gamma (c,v_x,v_y,v_z)$$

4元速度の大きさは常に $c$ です。

$$u^{\mu }{u}_{\mu }={\gamma }^2(c^2-v^2)=c^2$$

4元運動量

4元運動量は質量と4元速度の積です。

$$p^{\mu }=m{u}^{\mu }=(\gamma mc,\gamma m\mathbf{v})=\left(\frac{E}{c},\mathbf{p}\right)$$

第0成分はエネルギー（を $c$ で割ったもの）、空間成分は通常の運動量です。

4元運動量の大きさは、

$$p^{\mu }{p}_{\mu }=\frac{E^2}{c^2}-p^2=m^2{c}^2$$

これを書き換えると、$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$ というエネルギーと運動量の関係が得られます。

ローレンツ変換と4元ベクトル

4元ベクトルは、ローレンツ変換の下で次のように変換されます。

$$x^{\prime \mu }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }$$

$\Lambda$ はローレンツ変換行列です。すべての4元ベクトルが同じ規則で変換されるため、物理法則をローレンツ不変な形で書くことができます。

4元ベクトルを使うことで、相対性理論の計算が体系的かつ簡潔になります。