固有時間と世界線

固有時間と世界線は、特殊相対性理論における物体の運動を記述する基本概念です。時空ダイアグラムを使うことで、相対論的な効果を視覚的に理解できます。

世界線とは

時空において、物体が通る経路を「世界線」と呼びます。通常の空間での軌跡に時間軸を加えたものです。

時空ダイアグラム

時空ダイアグラムでは、縦軸に時間（通常は $ct$）、横軸に空間座標をとります。

固有時間

「固有時間」$\tau$ は、物体と一緒に運動する観測者が測る時間です。物体自身の時計が刻む時間であり、世界線に沿った「距離」に対応します。

微小な固有時間は、

$$d\tau =\sqrt{d{t}^2-\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{c^2}}=\frac{dt}{\gamma }$$

固有時間は座標によらない不変量です。

世界線の「長さ」

時空では、経路の長さは固有時間で測られます。2点間を結ぶ経路のうち、固有時間が最大になるのは測地線（慣性運動の経路）です。

これは逆説的に聞こえますが、時空間隔の符号が空間と異なるためです。

双子のパラドックスへの応用

地球に残る双子Aと、宇宙旅行をする双子Bを考えます。

Aの世界線は時間軸に沿った直線です。Bの世界線は、出発、方向転換、帰還という折れ線になります。

2人が再会するとき、経過した固有時間は異なります。直線経路（A）の固有時間が最大なので、Aの方が年をとっています。これが双子のパラドックスの解答です。

イベントの分類

ある基準イベントから見て、他のイベントは次のように分類されます。

世界線と因果律

質量のある物体の世界線は、常に光円錐の内側にあります。光円錐の外に出る（光速を超える）ことは不可能です。

これにより因果律が保護されます。原因は常に結果より前に起き、この順序はすべての慣性系で一致します。