測地線と自由落下

測地線は、曲がった時空における「最も自然な経路」です。一般相対性理論では、重力を受けて運動する物体は測地線に沿って進みます。自由落下とは、まさにこの測地線運動のことです。

測地線とは

平坦な空間での直線は、2点間の最短経路です。曲がった空間での測地線は、この概念を一般化したものです。

時空では、測地線は固有時間を最大化（または極値化）する経路です。

測地線方程式

測地線は次の微分方程式で記述されます。

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }=0$$

第1項は通常の加速度、第2項（クリストッフェル記号を含む）が時空の曲がりによる効果です。

平坦な時空では ${\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }=0$ なので、$d^2{x}^{\mu }/d{\tau }^2=0$ となり、等速直線運動になります。

自由落下の再解釈

ニュートン力学では、りんごが落ちるのは地球が引力を及ぼすからです。一般相対性理論では、見方が根本的に変わります。

驚くべきことに、自由落下する物体は「力を受けていない」のであり、床に静止している物体こそが「加速している」のです。

弱重力場での近似

地球表面のような弱い重力場では、測地線方程式はニュートンの運動方程式に帰着します。

時間方向の測地線方程式から、

$$\frac{d^2{x}^i}{d{t}^2}\approx -\frac{\partial \Phi }{\partial x^i}$$

ここで $\Phi$ は重力ポテンシャルです。これはまさに $\mathbf{a}=-\nabla \Phi$ というニュートン力学の式です。

光の測地線

質量のない光子も測地線に沿って進みます。ただし、光子の測地線は「ヌル測地線」と呼ばれ、

$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=0$$

を満たします。

軌道運動

惑星が太陽の周りを回るのも測地線運動です。ただし、ニュートン力学とわずかに異なる結果になります。

この水星の近日点移動は、一般相対性理論の最初の実験的証拠となりました。

自由落下と測地線の概念は、重力を「力」ではなく「幾何学」として理解する鍵です。