シュヴァルツシルト解

シュヴァルツシルト解は、アインシュタイン方程式の最も基本的な厳密解です。球対称な質量分布が作る時空を記述し、ブラックホールの理解に不可欠です。

シュヴァルツシルト計量

1916年、カール・シュヴァルツシルトは、球対称で静的な真空中のアインシュタイン方程式を解きました。得られた計量は、

$d s^{2} = (1 - \frac{r _{s}}{r}) c^{2} d t^{2} - (1 - \frac{r _{s}}{r})^{- 1} d r^{2} - r^{2} d Ω^{2}$

ここで $r_{s} = 2 GM / c^{2}$ はシュヴァルツシルト半径、 $d Ω^{2} = d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2}$ は球面上の角度成分です。

シュヴァルツシルト半径は、その天体がブラックホールになる境界の半径です。

天体	質量	シュヴァルツシルト半径
太陽	$2.0 \times 1 0^{30}$ kg	約3km
地球	$6.0 \times 1 0^{24}$ kg	約9mm

通常の天体は自身のシュヴァルツシルト半径よりはるかに大きいため、この計量は天体の外側でのみ適用されます。

r \to \infty

での振る舞い

計量は平坦なミンコフスキー計量に近づく。遠方では重力の効果は無視できる。

r = r_{s}

での特異性

$g_{00} = 0$ 、 $g_{r r} \to \infty$ となる。これは座標特異性であり、適切な座標変換で解消できる。

r = 0

での特異性

真の物理的特異性。曲率が無限大になり、既知の物理法則が破綻する。

$r = r_{s}$ は事象の地平面（イベントホライズン）と呼ばれます。

地平面の外側

光や物質は脱出可能。外部観測者と通信できる。

地平面の内側

光でさえ脱出不可能。必ず $r = 0$ の特異点に落ちる。

外部から見ると、地平面に近づく物体は無限に時間がかかるように見えます（重力による時間の遅れ）。しかし落下する物体自身にとっては、有限の固有時間で地平面を通過し、特異点に達します。

$r ≫ r_{s}$ のとき、計量は近似的に、

$g_{00} \approx 1 - \frac{2 GM}{c ^{2} r} = 1 + \frac{2Φ}{c ^{2}}$

ここで $Φ = - GM / r$ はニュートン重力ポテンシャルです。この関係から、重力による時間の遅れが導かれます。

シュヴァルツシルト時空での軌道は、ニュートン力学とわずかに異なります。

惑星が太陽の周りを公転

楕円軌道だが、軌道自体がゆっくり回転

近日点が1周ごとにずれる（近日点移動）

水星で最も顕著（100年で43秒角）

シュヴァルツシルト時空では、光も曲げられます。太陽のそばを通る光の偏向角は、

$δ ϕ = \frac{4 GM}{c ^{2} b}$

ここで $b$ は最接近距離です。太陽では約1.75秒角となり、1919年の日食観測で確認されました。

シュヴァルツシルト解は、星、惑星、ブラックホールの周囲の重力場を近似的に記述する基本的なモデルです。