コンデンサーと誘電体を電池つきと電池なしで比べる

充電したコンデンサーがたくわえるエネルギーは、3 通りに書けます^[1]。

$$U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$$

どれも同じ量で、$Q=CV$ を代入して行き来しているだけ。分かっている 2 つに合わせて選びます。

目に付くのは $1/2$ です。電池が $V$ の電圧で $Q$ を運んだのなら $QV$ になりそうなのに、半分しかたまっていません。

途中の電圧は $V$ より低い

充電のはじめは、極板に何もたまっていないので電圧は $0$ です。運ぶのに仕事は要りません。

たまるにつれて電圧が上がり、次の電荷を運ぶのが重くなる。最後の 1 滴だけが $V$ の高さを登ります。

$q$ たまった状態で $dq$ を運ぶ仕事は $dW=(q/C)dq$。これを $0$ から $Q$ まで積みます^[1]。

$$W={\int }_0^Q\frac{q}{C}dq=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$$

平均すれば $V/2$ の高さを $Q$ ぶん運んだことになります。だから $QV$ の半分。

薄い四角が $QV$、青い三角がその半分です。電池が出したエネルギーのうち、半分は配線の抵抗などで熱になります。

エネルギーは電場のなかにある

エネルギーがどこにあるのか、と問うと、答えは極板のあいだの空間です。単位体積あたりのエネルギーは次の形になります^[1]。

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$

コンデンサーに限らず、電場のあるところならどこでも成り立ちます。極板間の体積 $Sd$ を掛ければ $\frac{1}{2}C{V}^2$ に戻る。

誘電体を入れると容量が増える

極板のあいだを物質で満たすと、容量が増えます^[2]。

$$C=\kappa C_0$$

$\kappa$ は比誘電率で、真空を $1$ とした値です。空気はほぼ $1$、ガラスなら $5$ ほど^[3]。

理由は誘電分極です。物質のなかの分子が電場の向きにそろい、表面に電荷が現れる。この電荷が元の電場を打ち消す向きにはたらくので、あいだの電場が弱まります。

電池をつないだままか、外してからか

誘電体を入れる操作は、電池の状態で結果が変わります。固定されるものが違うためです^[2]。

つないだままなら電圧が固定され、容量が増えたぶん電荷が増えます。足りない電荷は電池から流れこむ。

外してからなら電荷が固定され、電圧のほうが $1/\kappa$ に下がります。電場が弱まったぶん、極板間の電位差も下がる。

外してから入れた場合、エネルギーが減ります^[2]。消えたわけではなく、誘電体を極板のあいだへ引きこむ仕事に使われている。

例 1：たまるエネルギー

$8.85\mathrm{nF}$ のコンデンサーに $100\mathrm{V}$ を掛けます。

$$U=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-9}\times (100{)}^2=4.4\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

$44\mu \mathrm{J}$。小さな値ですが、短時間で放出すれば大きな電力になります。

例 2：除細動器

$10000\mathrm{V}$ で $400\mathrm{J}$ をためるのに必要な容量を出します^[1]。

$$C=\frac{2U}{V^2}=\frac{2\times 400}{(1.0\times 10^4{)}^2}=8.0\times 10^{-6}\mathrm{F}$$

$8\mu \mathrm{F}$ です。これを数ミリ秒で放電すると、瞬間の電力は $10$ 万ワットを超えます。

例 3：エネルギー密度から出す

極板間の電場が $1.0\times 10^{5}V/m$ のとき、$1{\mathrm{m}}^3$ あたりのエネルギーを出します。

$$u=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-12}\times (1.0\times 10^5{)}^2=4.4\times 10^{-2}J/{\mathrm{m}}^3$$

体積が $2.0\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$ なら、全体で $8.8\times 10^{-7}\mathrm{J}$ になります。

例 4：つないだまま誘電体を入れる

$2.0\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを $12\mathrm{V}$ につなぎ、そのまま $\kappa =5.0$ の誘電体を入れます。

容量は $10\mu \mathrm{F}$、電圧は $12\mathrm{V}$ のまま。電荷は $Q=10\times 10^{-6}\times 12=1.2\times 10^{-4}\mathrm{C}$ で、入れる前の 5 倍です。

エネルギーは $\frac{1}{2}\times 10\times 10^{-6}\times 144=7.2\times 10^{-4}\mathrm{J}$。もとの $1.44\times 10^{-4}\mathrm{J}$ の 5 倍に増えました。増えたぶんは電池が出しています。

例 5：外してから誘電体を入れる

同じ $2.0\mu \mathrm{F}$ を $12\mathrm{V}$ で充電し、電池を外してから誘電体を入れます。

電荷は $2.4\times 10^{-5}\mathrm{C}$ のまま。容量が $10\mu \mathrm{F}$ になるので、電圧は $2.4\times 10^{-5}/10\times 10^{-6}=2.4\mathrm{V}$ へ下がります。

エネルギーは $\frac{1}{2}\times 2.4\times 10^{-5}\times 2.4=2.9\times 10^{-5}\mathrm{J}$。もとの 5 分の 1 です。

例 6：どこへ消えたか

例 5 で減った $1.15\times 10^{-4}\mathrm{J}$ は、誘電体が極板のあいだへ引きこまれるときの仕事になっています。

手で押さえながらゆっくり入れれば、そのぶんの仕事を手が受けます。手を離せば誘電体が加速して入り、振動しながら熱に変わる。どちらでも収支は合います。

固定されるものの一覧

問題文に「電池をつないだまま」と書いてあれば電圧、「電池を外してから」と書いてあれば電気量。ここを読み落とすと、増減がそっくり逆になります。

エネルギーの式も、固定されている量に合わせて選びます。電圧が固定なら $\frac{1}{2}C{V}^2$、電気量が固定なら $\frac{1}{2}{Q}^2/C$。どちらも $C$ の動きだけを追えばよくなる。

参考文献