ローレンツ力と仕事：磁場が粒子の速さを変えない理由

磁場のなかを飛ぶ荷電粒子は曲がります。ただし速さは変わりません。

$$F=qvB\sin \theta$$

$\theta$ は速度と磁場のなす角です^[1]。この力の向きが、いつでも速度に垂直になっている。垂直な力は仕事をしないので、運動エネルギーが動きません^[2]。

進む向きだけが変わり、速さはそのまま。電場による力とは、ここが決定的に違います。

速度に垂直なら円になる

速度と磁場が直交しているとき、力の大きさは $qvB$ で一定です。向きはつねに進行方向の真横。

大きさが一定で向きが真横の力は、向心力そのものです。粒子は等速円運動をします^[2]。

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$$

これを $r$ について解きます。

$$r=\frac{mv}{qB}$$

質量が大きいほど、速いほど大きく回る。磁場が強いほど、電荷が大きいほど小さく回ります^[3]。

一周にかかる時間は速さによらない

周期は円周を速さで割った値です。$T=2\pi r/v$ に $r=mv/(qB)$ を入れます。

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

$v$ が消えました^[2]。速い粒子は大きな円を描きますが、そのぶん長い道のりを速く回るので、一周の時間は同じになります^[3]。

サイクロトロンはこの性質を使う装置です。粒子が速くなっても戻ってくる時刻が変わらないので、電場の切りかえを一定の周期で続けられる。

斜めに入るとらせんになる

速度が磁場と斜めをなすときは、成分に分けます。磁場に平行な成分は力を受けないのでそのまま等速で進み、垂直な成分だけが円を描く。

2 つを合わせるとらせん運動になります^[2]。1 周のあいだに軸方向へ進む距離をピッチと呼び、$p=v_{\parallel }T$ で出ます。

速度が磁場と完全に平行なら $\sin 0^{\circ }=0$ で、力は $0$ です。粒子はまっすぐ進みます。

符号で向きが逆になる

力の向きは、正電荷ではフレミングの左手の法則で決まります。負電荷では逆向き。

電子は電流と反対に動くので、電流の向きで考えるときは向きが 2 回ひっくり返ります。どちらで考えるかを決めてから当てると、混乱しません。

例 1：電子の回る半径

$1.0\times 10^{7}m/s$ の電子が $1.0\mathrm{mT}$ の磁場に垂直に入ります。

$$r=\frac{9.11\times 10^{-31}\times 1.0\times 10^7}{1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-3}}=5.7\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

$5.7\mathrm{cm}$ です。ミリテスラという弱い磁場でも、手のひらに収まる大きさまで曲げられます。

例 2：周期を出す

例 1 の電子の周期を出します。

$$T=\frac{2\pi \times 9.11\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-3}}=3.6\times 10^{-8}\mathrm{s}$$

速さを 2 倍にしても、この値は変わりません。半径だけが $11\mathrm{cm}$ へ広がります。

例 3：アルファ粒子を曲げる

質量 $6.64\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電荷 $3.2\times 10^{-19}\mathrm{C}$ のアルファ粒子を、$0.050\mathrm{T}$ の磁場で $90$ 度曲げます^[2]。

$$T=\frac{2\pi \times 6.64\times 10^{-27}}{3.2\times 10^{-19}\times 0.050}=2.6\times 10^{-6}\mathrm{s}$$

$90$ 度は 4 分の 1 周なので、かかる時間は $6.5\times 10^{-7}\mathrm{s}$ です。

例 4：質量で分ける

同じ電荷で同じ速さの 2 種類のイオンを、同じ磁場へ入れます。半径は $r=mv/(qB)$ から質量に比例する。

質量数 $12$ と $13$ の炭素なら、半径の比も $12:13$ です。$1\mathrm{m}$ の円なら $8\mathrm{cm}$ ほどの差になり、検出器で十分に見分けられます。

質量分析器はこの差を読む装置です。同位体の比率を高い精度で測れます。

例 5：らせんのピッチ

例 1 の電子が、磁場と $60$ 度をなす向きで入ったとします。平行な成分は $1.0\times 10^7\times \cos 60^{\circ }=5.0\times 10^{6}m/s$。

$$p=5.0\times 10^6\times 3.6\times 10^{-8}=0.18\mathrm{m}$$

$18\mathrm{cm}$ 進むあいだに 1 回転します。垂直な成分は $8.7\times 10^{6}m/s$ なので、半径は $5.0\mathrm{cm}$ ほど。

例 6：オーロラができるところ

地球の磁場につかまった荷電粒子は、磁力線に沿ってらせんを描きます。極に近づくほど磁場が強くなり、半径が小さくなる。

やがて進む向きが反転し、南北の極のあいだを往復します。極の上空で大気とぶつかった粒子が、酸素や窒素を光らせる。これがオーロラです。

押さえどころ

磁場は荷電粒子の進路を決める道具で、エネルギーは与えません。速さを変えたいときは電場を使う。加速器がこの 2 つを組み合わせているのは、役割が分かれているためです。

参考文献