電流が磁場から受ける力とフレミングの左手の法則

磁場のなかに電流を流した導線を置くと、導線が力を受けます。

$$F=BIL\sin \theta$$

$\theta$ は電流と磁場のなす角で、直交していれば $F=BIL$ と最大になります^[1]。平行なら $0$。

向きは 3 本の指で決めます。左手の中指を電流、人差し指を磁場に合わせると、親指が力の向きになる。3 本を互いに直角に開いて当てます。

当てる手は国で変わる

フランス語圏の教科書では右手を使い、親指を電流、人差し指を磁場、中指を力に当てます^[2]。

指の割りふりが違うだけで、出てくる向きは同じです。両方を混ぜると必ず間違えるので、どちらか 1 つに決めて通すことになります。

ミクロなローレンツ力の集まり

導線が受ける力は、なかを動く電子 1 個ずつが受ける力の合計です。

導線の断面積を $A$、単位体積あたりの電子数を $n$、平均の速さを $v$ とすると、電流は $I=nqvA$ と書けます^[1]。

長さ $L$ の部分にある電子の数は $nAL$ 個。1 個あたり $qvB$ を受けるので、合計は次のようになります。

$$F=nAL\times qvB=(nqvA)LB=BIL$$

$nqvA$ が $I$ にまとまりました。マクロな $BIL$ が、ミクロな $qvB$ の積み上げだと分かります^[3]。

図では電子を電流の向きに流していますが、実際の電子は逆向きに動きます。それでも力の向きは変わりません。

モーターになる

磁場のなかのコイルに電流を流すと、向かい合う辺が逆向きの力を受けます。コイルを回そうとする偶力になる。

半回転したところで整流子が電流の向きを切りかえるので、回し続けられます。$N$ 回巻き、面積 $S$ のコイルなら、トルクは $NBIS\sin \theta$ です。

平行な電流のあいだ

2 本の平行な導線では、片方がつくる磁場をもう片方が感じます。長さあたりの力は次の形。

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}$$

同じ向きなら引き合い、逆向きなら反発します。日常の感覚とは逆で、まぎらわしいところ。

例 1：まっすぐな導線

$0.50\mathrm{T}$ の磁場に、$2.0\mathrm{A}$ が流れる長さ $0.10\mathrm{m}$ の導線を垂直に置きます。

$$F=0.50\times 2.0\times 0.10=0.10\mathrm{N}$$

$0.10\mathrm{N}$。10 g ほどの物体にはたらく重力ぶんです。

例 2：導線を浮かせる

質量 $10\mathrm{g}$、長さ $50\mathrm{cm}$ の導線を、$0.50\mathrm{T}$ の磁場のなかで支えなしに浮かせます^[1]。

重力とつり合う条件は $mg=BIL$ です。

$$I=\frac{0.010\times 9.8}{0.50\times 0.50}=0.39\mathrm{A}$$

$0.39\mathrm{A}$ でよい。電流を水平に流し、力が上を向く向きにそろえます。

例 3：斜めに置く

例 1 の導線を、磁場と $30^{\circ }$ をなす向きに置き直します。

$$F=0.50\times 2.0\times 0.10\times \sin 30^{\circ }=0.050\mathrm{N}$$

半分になりました。平行に近づけるほど小さくなり、平行で $0$ です。

例 4：平行な 2 本

$0.10\mathrm{m}$ 離れた 2 本の導線に、それぞれ $10\mathrm{A}$ を流します。

$$\frac{F}{L}=\frac{4\pi \times 10^{-7}\times 10\times 10}{2\pi \times 0.10}=2.0\times 10^{-4}N/m$$

$1\mathrm{m}$ あたり $0.2\mathrm{mN}$。小さな力ですが、電流を増やすと 2 乗で効きます。$1000\mathrm{A}$ なら $1\mathrm{m}$ あたり $2\mathrm{N}$ になる。

例 5：モーターのトルク

$0.20\mathrm{T}$ の磁場に、面積 $0.010{\mathrm{m}}^2$、$100$ 回巻きのコイルを置き、$0.50\mathrm{A}$ を流します。コイル面が磁場と平行のとき、トルクは最大です。

$$\tau =100\times 0.20\times 0.50\times 0.010=0.10\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

巻き数を増やせばそのまま比例して大きくなります。小型のモーターが細い線を何百回も巻いてあるのは、このため。

例 6：電流から電子の速さを出す

断面積 $1.0\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の銅線に $2.0\mathrm{A}$ を流します。銅の自由電子の数密度を $8.5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ とします。

$$v=\frac{I}{nqA}=\frac{2.0}{8.5\times 10^{28}\times 1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^{-6}}$$

計算すると $1.5\times 10^{-4}m/s$ です。1 秒に $0.15\mathrm{mm}$ ほどしか進みません。電子はゆっくり動き、それでも数が多いので $2\mathrm{A}$ になります。

押さえどころ

電流が磁場から受ける力は、モーター、スピーカー、電磁ブレーキの根にあります。回す、押す、止めるという動きが、この 1 本の式から出てくる。

参考文献