クーロンの法則と静電気力（万有引力との比較）

下じきで髪をこすると、髪が持ち上がります。地球全体が下へ引いているのに、こすった下じき 1 枚のほうが勝つ。

同じ 2 つを同じ場所で比べると、どれくらい差があるのか。まず電気の力を書きます。電荷 $q_1$ と $q_2$ を距離 $r$ だけ離したときの大きさです。

$$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}$$

$k$ はクーロン定数で $9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$。真空の誘電率を使って $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$ とも書けます。

形は万有引力とそっくり

積を距離の 2 乗で割る、というところまで同じです。違いは 2 か所。

もう 1 つの違いが強さです。同じ距離に置いた陽子と電子で比べると、電気の力は重力のおよそ $2.3\times 10^{39}$ 倍になります。

桁が $39$ も離れています。原子の中の計算で重力を書かないのは、書いても答えが変わらないからです。

符号が向きを決める

同符号なら反発し、異符号なら引き合います。大きさの式に絶対値がついているのは、向きを符号ではなく配置の図から読むためです。

計算では大きさを絶対値で求め、向きは配置から決めます。符号をそのまま代入して負の力が出た、という扱いが通るのは 1 次元の問題だけです。

距離が 2 乗で効く

距離を 2 倍にすれば 4 分の 1、3 倍にすれば 9 分の 1 になります。電荷を減らすより、離すほうが速く効く。

電荷は飛び飛びの値をとる

電子 1 個が持つ電荷の大きさを電気素量と呼びます。

$$e=1.602176634\times 10^{-19}\mathrm{C}$$

すべての電荷はこの $e$ の整数倍です。$1\mu \mathrm{C}$ でも $6.2\times 10^{12}$ 個ぶんにあたるため、日常の範囲では連続した量に見える。

2019 年に、決める側と測る側がいれかわった

上に書いた電気素量の値には、桁が最後まで並んでいて誤差がついていません。$2019$ 年に単位の決め方が変わり、$e$ が定義値になったためです^[2]。

いまは $e$ の値を決めておいて、そこからアンペアを定める形になっています。かわりに真空の誘電率のほうが測定値になり、${\epsilon }_0=8.8541878188\times 10^{-12}F/m$ に $1.6\times 10^{-10}$ ほどの相対的な不確かさがつく^[2]。

高校の計算では $9.0\times 10^9$ と $1.6\times 10^{-19}$ で足ります。どちらが決めた値でどちらが測った値かは、桁の並びに出ています。

3 つ以上あるとき

電荷が 3 つ以上あるときは、ペアごとにクーロンの法則をあて、最後にベクトルとして足します。ほかの電荷がそばにあっても、あるペアにはたらく力は変わりません。

例：符号の違う 2 電荷

$q_1=+3.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ と $q_2=-2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ を $0.10\mathrm{m}$ 離します。

$$F=9.0\times 10^9\times \frac{3.0\times 10^{-6}\times 2.0\times 10^{-6}}{(0.10{)}^2}=5.4\mathrm{N}$$

符号が違うため引力です。数マイクロクーロンでも $5.4\mathrm{N}$、$550\mathrm{g}$ ほどの物体を持ち上げるだけの大きさです。

例：距離を 3 倍にする

前の例の距離を $0.30\mathrm{m}$ へ広げます。$1/r^2$ なので 9 分の 1。

$$F=\frac{5.4}{9}=0.60\mathrm{N}$$

電荷のほうを 3 分の 1 にしても $1.8\mathrm{N}$ にしかなりません。同じ「3 分の 1」でも、効き方が違います。

例：水素原子で 2 つの力を比べる

陽子と電子が $5.3\times 10^{-11}\mathrm{m}$ 離れているとします。まず電気の力。

$$F_{\text{電気}}=9.0\times 10^9\times \frac{(1.6\times 10^{-19}{)}^2}{(5.3\times 10^{-11}{)}^2}=8.2\times 10^{-8}\mathrm{N}$$

同じ配置で万有引力を求めます。$m_p=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$。

$$F_{\text{重力}}=6.67\times 10^{-11}\times \frac{1.67\times 10^{-27}\times 9.11\times 10^{-31}}{(5.3\times 10^{-11}{)}^2}=3.6\times 10^{-47}\mathrm{N}$$

比をとると $2.3\times 10^{39}$ 倍。分母と分子で $r^2$ が同じだから、距離を変えても比は動きません。

例：正三角形の 3 電荷

1 辺 $0.10\mathrm{m}$ の正三角形の頂点に、$2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ を 3 個置きます。1 個が受ける合力を求めます。

まず 1 対 1 の力から。

$$F_1=9.0\times 10^9\times \frac{(2.0\times 10^{-6}{)}^2}{(0.10{)}^2}=3.6\mathrm{N}$$

2 本の力は $60^{\circ }$ をなします。左右の成分が打ち消し、外向きの成分だけが残る。

$$F=2F_1\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}\times 3.6=6.2\mathrm{N}$$

対称性を使うと、成分を 1 つずつ書かずに済みます。

例：力がつり合う点

$x=0$ に $+4Q$、$x=0.30\mathrm{m}$ に $+Q$ を置きます。この直線上で、置いた電荷が力を受けない点はどこでしょうか。

2 つの電荷のあいだにあるはずです。$+4Q$ から $x$ の点で、両側からの力が等しくなる条件を書きます。

$$k\frac{4Qq}{x^2}=k\frac{Qq}{(0.30-x{)}^2}$$

整理すると $4(0.30-x{)}^2=x^2$、つまり $2(0.30-x)=x$ です。

$$x=0.20\mathrm{m}$$

大きいほうの電荷から遠い位置になりました。距離の比が $2:1$ で、$1/r^2$ から力の比が $1:4$。電荷の比 $4:1$ とかけ合わせてつり合います。

例：クーロンがどう測ったか

この式は $1785$ 年に、細い糸で棒をつるしたねじり秤で確かめられました^[1]。同じ符号に帯電させた小球どうしを近づけると、反発して糸がねじれる。

ねじれ角から力を読みとる仕組みで、糸が細いほど小さな力まで測れます。距離を変えながらねじれ角を記録すると、$1/r^2$ が浮かび上がった。

電場も電位も、この式を割ったり積んだりして作られています。形の似ている万有引力と並べておくと、符号があること、桁が違うこと、その 2 つが後ろまで効いてきます。

出典