電池の内部抵抗と端子電圧（電圧計が正常でも動かない場合）

テスターを当てると $1.5\mathrm{V}$ と出るのに、機器につなぐと動かない電池があります。測り方が悪いわけではありません。

電流を流していないときの電圧が起電力、流しているときの電圧が端子電圧で、この 2 つは別の値です^[1]。

$$V=\mathcal{E}-Ir$$

$r$ は電池の内部にある抵抗で、内部抵抗と呼びます。電流が流れると、ここでも電圧が下がる。

開放電圧が起電力

電流が $0$ のときは $Ir=0$ なので、端子電圧は起電力に等しくなります^[2]。テスターは内部抵抗が非常に大きく、ほとんど電流を流さないので、この値を読んでいる。

負荷をつなぐと電流が流れ、$Ir$ のぶんだけ端子電圧が落ちます。電流が大きいほど落ち幅も大きい。

特性は直線になる

$V=\mathcal{E}-Ir$ を $I$ の関数として見ると、傾き $-r$ の直線です^[2]。

縦軸との交点が起電力、傾きの大きさが内部抵抗。測定点を 2 つとれば、電池を分解せずに両方が出ます。

テスターだけでは判断できない

無負荷では内部抵抗の影響が出ません。だから消耗した電池でも、テスターの表示は正常に近い値になります。

判断するなら、負荷をつないだ状態で端子電圧を測る。電池の残量チェッカーは、内部で決まった抵抗をつないで電圧を読む仕組みになっています。

とり出せる電力

外部抵抗 $R$ で消費される電力を書きます。

$$P=I^{2}R={\left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)}^{2}R$$

$R$ を小さくすれば電流は増えますが、端子電圧が下がる。逆に $R$ を大きくすると電圧は保てても電流が減ります。どちらへ振っても電力は落ちる。

最大になるのは $R=r$ のときで、そのときの値は次のようになります。

$$P_{\text{最大}}=\frac{{\mathcal{E}}^2}{4r}$$

このとき内部抵抗でも同じだけ電力を消費するので、効率は 50 パーセントです。電力を最大にとり出す条件と、むだを減らす条件は一致しません。

例 1：端子電圧を出す

起電力 $9.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $0.50\Omega$ の電池に $4.0\Omega$ をつなぎます。

$$I=\frac{9.0}{4.0+0.50}=2.0\mathrm{A}$$

$$V=9.0-2.0\times 0.50=8.0\mathrm{V}$$

起電力より $1.0\mathrm{V}$ 低い値です。この $1.0\mathrm{V}$ は電池のなかで熱になっています。

例 2：重い負荷をつなぐ

起電力 $12.00\mathrm{V}$、内部抵抗 $0.100\Omega$ の電池に $0.500\Omega$ をつなぎます^[1]。

$$I=\frac{12.00}{0.600}=20.00\mathrm{A}$$

$$V=12.00-20.00\times 0.100=10.00\mathrm{V}$$

端子電圧が $2\mathrm{V}$ も落ちました。外部で消費する電力は $P=I^{2}R=400\times 0.500=200\mathrm{W}$ です。

例 3：特性の直線から読む

測定して、電流 $0$ で $14.0\mathrm{V}$、電流 $1.2\mathrm{A}$ で $10.0\mathrm{V}$ という 2 点が得られたとします^[2]。

傾きを出します。

$$\frac{10.0-14.0}{1.2-0}=-3.3$$

起電力は $14.0\mathrm{V}$、内部抵抗は $3.3\Omega$ です。グラフ 1 枚で両方が決まる。

例 4：最大電力

例 2 の電池で電力が最大になる条件を出します。$R=r=0.100\Omega$ のとき。

$$P_{\text{最大}}=\frac{(12.00{)}^2}{4\times 0.100}=360\mathrm{W}$$

このとき電流は $12.00/0.200=60.0\mathrm{A}$、端子電圧は $6.00\mathrm{V}$。起電力のちょうど半分になります。

例 5：短絡させる

外部抵抗を $0$ にすると、電流は内部抵抗だけで決まります。

$$I=\frac{12.00}{0.100}=120\mathrm{A}$$

端子電圧は $0$ で、$1440\mathrm{W}$ がすべて電池のなかで熱になる。内部抵抗の小さい電池ほど短絡が危険なのは、この電流の大きさのため。

例 6：消耗した電池

起電力 $1.5\mathrm{V}$ の乾電池に $10\Omega$ をつなぎます。新品の内部抵抗を $0.30\Omega$、消耗品を $3.0\Omega$ とします。

新品なら $I=1.5/10.3=0.146\mathrm{A}$、端子電圧は $1.5-0.146\times 0.30=1.46\mathrm{V}$。

消耗品では $I=1.5/13.0=0.115\mathrm{A}$、端子電圧は $1.5-0.115\times 3.0=1.15\mathrm{V}$ まで落ちます。

無負荷ではどちらも $1.5\mathrm{V}$ を示します。テスターの表示だけでは見分けが付きません。

見分けるための並べ直し

電池を評価するときは、必ず電流を流した状態で測ります。無負荷の値は、内部抵抗をまるごと隠してしまう。

「電圧は出ているのに動かない」という状況は、内部抵抗が上がったサインです。起電力ではなく、内部抵抗のほうが寿命を決めています。

参考文献