導体と不導体の違いと静電誘導・誘電分極

静電気的につり合った導体の内部では、電場がちょうど $0$ になります^[1]。近くにどれだけ強い電場があっても、中まで入ってきません。

不導体では $0$ になりません。弱まるだけで、残ります。この差は、電子が動けるかどうかから出ています。

自由電子が打ち消す

金属には自由に動ける電子があります。外から電場をかけると、電子が力を受けて動く。

移動した電子は片側に集まり、反対側には正の電荷が残ります。この 2 つが内部に逆向きの電場をつくり、外の電場を打ち消していく。

打ち消しが完全になるまで電子は動き続けます。止まるのは、内部の電場がちょうど $0$ になったとき。だから静止した状態では必ず $0$ です^[2]。

電荷は表面にしか残れない

導体の内部に、表面をふくまないガウス面をとります。内部の電場が $0$ なので、面を貫く量も $0$。

$$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=0=\frac{Q_{\text{内}}}{{\epsilon }_0}$$

囲んだ電荷が $0$ という結論になります^[2]。面はどんな形でも、どこにとってもよいので、内部のどこにも電荷はありません。

与えた電荷はすべて表面に出ます。同符号の電荷どうしが反発して、行けるところまで行った結果とも読めます。

表面のすぐ外は $\sigma /{\epsilon }_0$

導体の表面のすぐ外側では、電場が面に垂直で、大きさは面電荷密度で決まります^[1]。

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$$

導出は、表面をはさむ薄い円筒です。内側のふたは導体のなかにあるので $E=0$、側面は電場と平行で寄与しません。外側のふただけが残る。

薄い帯電板の $\sigma /(2{\epsilon }_0)$ と混ざりやすいところ。導体では内側へ出る電場がないので、外側だけに $2$ 倍が寄ります。

不導体は弱めるだけ

不導体では電子が原子から離れられません。動くのは向きだけで、分子が電場の向きにそろいます。

そろった結果、表面に電荷が現れます。この電荷が元の電場を打ち消す向きにはたらくので、内部の電場は弱まる。

$$E=\frac{E_0}{\kappa }$$

$\kappa$ は比誘電率で、$1$ より大きい値です^[3]。$\kappa$ が有限なので、割っても $0$ にはなりません。導体は $\kappa$ が無限大の極限にあたる、という見方もできます。

静電遮蔽

導体で囲むと、その内側は外の電場から守られます^[2]。囲いのなかに電荷がなければ、空洞のなかの電場も $0$。

雷が落ちても車のなかが安全なのは、この効果です。電流は金属の車体を通って地面へ流れ、なかには入ってきません。

同軸ケーブルの外側の網も同じ役割をしています。信号を外へもらさず、外からの雑音も入れない。

とがったところに集まる

導体の表面で電荷は一様には並びません。曲率の大きい、とがった場所ほど密に集まります。

$E=\sigma /{\epsilon }_0$ なので、そこでは電場も強くなる。空気が絶縁を保てなくなると放電が起きます。避雷針の先がとがっているのは、この集まりを利用するためです。

例 1：帯電した導体球

半径 $0.10\mathrm{m}$ の金属球に $1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ を与えます。内部の電場は $0$ です。

外側の $r=0.20\mathrm{m}$ では、中心に点電荷があるのと同じになります。

$$E=9.0\times 10^9\times \frac{1.0\times 10^{-8}}{(0.20{)}^2}=2.3\times 10^{3}V/m$$

表面ちょうどでは $9.0\times 10^{3}V/m$。表面をまたいだところで、$0$ から急に立ち上がります。

例 2：表面の電荷密度から出す

面電荷密度が $1.0\times 10^{-6}C/{\mathrm{m}}^2$ の導体表面のすぐ外を調べます。

$$E=\frac{1.0\times 10^{-6}}{8.85\times 10^{-12}}=1.1\times 10^{5}V/m$$

同じ密度の薄い帯電板なら $5.6\times 10^{4}V/m$ で、ちょうど半分です。導体では内側に電場が出ないぶん、外側が 2 倍になります。

例 3：空洞のある導体

中空の金属球に $Q$ を与えます。空洞のなかに電荷を置かなければ、空洞内の電場は $0$。

内壁にも電荷は現れません。空洞をぐるりと囲むガウス面をとると、囲む電荷が $0$ になるためです。$Q$ はすべて外壁に出ます。

空洞のなかに $q$ を置くと話が変わり、内壁に $-q$、外壁に $Q+q$ が現れます。

例 4：不導体を入れる

$E_0=1.0\times 10^{5}V/m$ の電場のなかへ、$\kappa =5.0$ の板を入れます。

$$E=\frac{1.0\times 10^5}{5.0}=2.0\times 10^{4}V/m$$

5 分の 1 に弱まりますが、$0$ にはなりません。導体を入れれば、同じ位置で $0$ になります。

例 5：避雷針の先

先端の曲率半径が $1.0\mathrm{mm}$ の針が、$1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ を集めたとします。先端付近を半径 $1.0\mathrm{mm}$ の球で近似します。

$$E=9.0\times 10^9\times \frac{1.0\times 10^{-8}}{(1.0\times 10^{-3}{)}^2}=9.0\times 10^{7}V/m$$

空気の絶縁が破れる目安は $3\times 10^{6}V/m$ ほどです。とがった先では、はるかに小さい電荷でもこの値を超えます。

例 6：手を近づける

帯電していない金属板に、正に帯電した棒を近づけます。板の手前側に負の電荷、奥側に正の電荷が現れます。

板全体の電荷は $0$ のままです。位置が偏っただけ。棒を遠ざければ元に戻り、この状態を静電誘導と呼びます。

奥側を指で触れてから棒を遠ざけると、正の電荷だけが逃げて板が負に帯電します。触れる順番で結果が変わる。

並べて見る

分かれ目は、電荷が長い距離を動けるかどうかです。動ければ打ち消しきるまで動き、動けなければ向きをそろえるところで止まる。

同じ「電場を弱める」という現象でも、行き着く先が $0$ か、$1/\kappa$ かで扱いが変わります。導体は $\kappa$ を無限大にした極限、と見ておくと 2 つが 1 本につながる。

参考文献