オームの法則と直列回路・並列回路の合成抵抗

同じ乾電池に豆電球を 2 個つなぎます。一列につなぐと、1 個のときより暗くなる。枝分かれさせてつなぐと、2 個とも同じ明るさのまま光ります。

つなぎ方を変えただけで結果が分かれるのは、そろう量が入れかわるからです。まず 1 個だけの場合から書きます。

$$V=IR$$

抵抗 $R$ に電圧 $V$ をかけると、電流 $I$ が流れる。単位はオーム（$\Omega$）で、$1\mathrm{V}$ かけて $1\mathrm{A}$ 流れるのが $1\Omega$ です。

直列は電流がそろう

一列につなぐと、電流の通り道が 1 本になります。途中で分かれる場所がないため、どの抵抗にも同じ電流が流れる。

かわりに電圧が分かれます。それぞれの抵抗で $V=IR$ が成り立ち、$I$ が共通だから、電圧は抵抗の比に分かれる。

合成抵抗は、それぞれの電圧を足せば求まります。$V=I{R}_1+I{R}_2=I(R_1+R_2)$ だから、次の形になる。

$$R=R_1+R_2$$

並列は電圧がそろう

枝分かれさせると、どちらの抵抗も同じ 2 点をつなぎます。両端の電位が同じ 2 点だから、かかる電圧も同じになる。

かわりに電流が分かれます。$I=V/R$ で $V$ が共通だから、電流は抵抗の逆比に分かれる。

合成抵抗は、それぞれの電流を足して求まります。$I=V/R_1+V/R_2$ を $V/R$ と等しいと置く。

$$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

そろう量のほうから式を作る

直列も並列も、そろう量のほうから式が作れます。直列は $I$ が共通だから電圧を足す。並列は $V$ が共通だから電流を足す。

どちらの式も、共通する量で割った形になっています。何がそろうかを先に決めれば、残りは足し算です。

並列はいちばん小さい抵抗より小さくなる

$20\Omega$ と $30\Omega$ を並列にすると $12\Omega$ で、$20\Omega$ より小さい。数字だけ見ると意外に思えます。

通り道が増えたからです。もとの $20\Omega$ の道はそのまま残っていて、そこへ $30\Omega$ の道が足された。全体として流れやすくなります。

例：直列につなぐ

$20\Omega$ と $30\Omega$ を直列にし、$12\mathrm{V}$ をかけます。

$$R=20+30=50\Omega ,I=\frac{12}{50}=0.24\mathrm{A}$$

それぞれの電圧は $0.24\times 20=4.8\mathrm{V}$ と $0.24\times 30=7.2\mathrm{V}$。足すと $12\mathrm{V}$ に戻ります。

例：並列につなぐ

同じ 2 つを並列にします。どちらにも $12\mathrm{V}$ がかかる。

$$I_1=\frac{12}{20}=0.60\mathrm{A},I_2=\frac{12}{30}=0.40\mathrm{A}$$

合計 $1.00\mathrm{A}$ です。合成抵抗は $12/1.00=12\Omega$ で、式から求めた $1/R=1/20+1/30$ と合います。

例：混ざった回路

$20\Omega$ と $30\Omega$ の並列に、$8\Omega$ を直列でつなぎ、$12\mathrm{V}$ をかけます。内側の並列からまとめる。

$$R=12+8=20\Omega ,I=\frac{12}{20}=0.60\mathrm{A}$$

$8\Omega$ にかかる電圧は $0.60\times 8=4.8\mathrm{V}$、並列の部分には残りの $7.2\mathrm{V}$。

その $7.2\mathrm{V}$ を使うと $7.2/20=0.36\mathrm{A}$ と $7.2/30=0.24\mathrm{A}$ で、足して $0.60\mathrm{A}$。全体の電流と合いました。

例：銅線の抵抗

抵抗は材料と形で決まります。長さ $L$、断面積 $A$、抵抗率 $\rho$ で書ける。

$$R=\rho \frac{L}{A}$$

銅の抵抗率は $1.68\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$ です。長さ $10\mathrm{m}$、断面積 $1.0\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ の銅線なら次の値。

$$R=1.68\times 10^{-8}\times \frac{10}{1.0\times 10^{-6}}=0.17\Omega$$

配線に使うぶんには小さい値です。ただし長さを 2 倍にして断面積を半分にすると 4 倍になり、$0.67\Omega$ まで上がります。

例：どちらが明るいか

冒頭の豆電球に戻ります。同じ豆電球を直列にすると、1 個あたりにかかる電圧が半分になる。

並列なら、どちらにも電池の電圧がそのままかかります。1 個だけつないだときと同じ明るさで光る。

そのかわり電池から出ていく電流は 2 倍になり、電池は早く消耗します。

受けとられ方は最初から良くはなかった

この関係を $1827$ 年に発表したのがゲオルク・オームです。書名は Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet で、電気を数式で扱う書き方が当時のドイツでは珍しかった。

国立強磁場研究所の科学史資料によると、発表直後の評価は芳しくなく、まともな職を得られない時期が長く続いたとあります。英国王立協会からコプリ・メダルを受けたのは $1841$ 年、ミュンヘンの教授になったのは $1849$ 年でした。

いまは抵抗の単位に名前が残っています。

つなぎ方を見たら、まず何がそろうかを決めます。直列なら電流、並列なら電圧。そこが決まれば、残りは $V=IR$ を並べて足すだけになります。