オームの法則と直列回路・並列回路の合成抵抗

同じ乾電池に豆電球を 2 個つなぎます。一列につなぐと、1 個のときより暗くなる。枝分かれさせてつなぐと、2 個とも同じ明るさのまま光ります。

つなぎ方を変えただけで結果が分かれるのは、そろう量が入れかわるからです。まず 1 個だけの場合から書きます。

$V = I R$

抵抗 $R$ に電圧 $V$ をかけると、電流 $I$ が流れる。単位はオーム（ $Ω$ ）で、 $1 V$ かけて $1 A$ 流れるのが $1 Ω$ です。

直列は電流がそろう

一列につなぐと、電流の通り道が 1 本になります。途中で分かれる場所がないため、どの抵抗にも同じ電流が流れる。

かわりに電圧が分かれます。それぞれの抵抗で $V = I R$ が成り立ち、 $I$ が共通だから、電圧は抵抗の比に分かれる。

合成抵抗は、それぞれの電圧を足せば求まります。 $V = I R_{1} + I R_{2} = I (R_{1} + R_{2})$ だから、次の形になる。

$R = R_{1} + R_{2}$

並列は電圧がそろう

枝分かれさせると、どちらの抵抗も同じ 2 点をつなぎます。両端の電位が同じ 2 点だから、かかる電圧も同じになる。

かわりに電流が分かれます。 $I = V / R$ で $V$ が共通だから、電流は抵抗の逆比に分かれる。

合成抵抗は、それぞれの電流を足して求まります。 $I = V / R_{1} + V / R_{2}$ を $V / R$ と等しいと置く。

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

そろう量のほうから式を作る

直列も並列も、そろう量のほうから式が作れます。直列は $I$ が共通だから電圧を足す。並列は $V$ が共通だから電流を足す。

直列

電流がそろう。電圧を足すと $R = R_{1} + R_{2}$

並列

電圧がそろう。電流を足すと $1/ R = 1/ R_{1} + 1/ R_{2}$

どちらの式も、共通する量で割った形になっています。何がそろうかを先に決めれば、残りは足し算です。

並列はいちばん小さい抵抗より小さくなる

$20 Ω$ と $30 Ω$ を並列にすると $12 Ω$ で、 $20 Ω$ より小さい。数字だけ見ると意外に思えます。

通り道が増えたからです。もとの $20 Ω$ の道はそのまま残っていて、そこへ $30 Ω$ の道が足された。全体として流れやすくなります。

例：直列につなぐ

$20 Ω$ と $30 Ω$ を直列にし、 $12 V$ をかけます。

$R = 20 + 30 = 50 Ω, I = \frac{12}{50} = 0.24 A$

それぞれの電圧は $0.24 \times 20 = 4.8 V$ と $0.24 \times 30 = 7.2 V$ 。足すと $12 V$ に戻ります。

例：並列につなぐ

同じ 2 つを並列にします。どちらにも $12 V$ がかかる。

$I_{1} = \frac{12}{20} = 0.60 A, I_{2} = \frac{12}{30} = 0.40 A$

合計 $1.00 A$ です。合成抵抗は $12/1.00 = 12 Ω$ で、式から求めた $1/ R = 1/20 + 1/30$ と合います。

例：混ざった回路

$20 Ω$ と $30 Ω$ の並列に、 $8 Ω$ を直列でつなぎ、 $12 V$ をかけます。内側の並列からまとめる。

$R = 12 + 8 = 20 Ω, I = \frac{12}{20} = 0.60 A$

$8 Ω$ にかかる電圧は $0.60 \times 8 = 4.8 V$ 、並列の部分には残りの $7.2 V$ 。

その $7.2 V$ を使うと $7.2/20 = 0.36 A$ と $7.2/30 = 0.24 A$ で、足して $0.60 A$ 。全体の電流と合いました。

内側の並列をまとめて 1 つの抵抗にする

全体の合成抵抗から電流を求める

各部分にかかる電圧を戻して、分かれた電流を求める

例：銅線の抵抗

抵抗は材料と形で決まります。長さ $L$ 、断面積 $A$ 、抵抗率 $ρ$ で書ける。

$R = ρ \frac{L}{A}$

銅の抵抗率は $1.68 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ です。長さ $10 m$ 、断面積 $1.0 m m^{2}$ の銅線なら次の値。

$R = 1.68 \times 1 0^{- 8} \times \frac{10}{1.0 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.17 Ω$

配線に使うぶんには小さい値です。ただし長さを 2 倍にして断面積を半分にすると 4 倍になり、 $0.67 Ω$ まで上がります。

例：どちらが明るいか

冒頭の豆電球に戻ります。同じ豆電球を直列にすると、1 個あたりにかかる電圧が半分になる。

並列なら、どちらにも電池の電圧がそのままかかります。1 個だけつないだときと同じ明るさで光る。

そのかわり電池から出ていく電流は 2 倍になり、電池は早く消耗します。

受けとられ方は最初から良くはなかった

この関係を $1827$ 年に発表したのがゲオルク・オームです。書名は Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet で、電気を数式で扱う書き方が当時のドイツでは珍しかった。

国立強磁場研究所の科学史資料によると、発表直後の評価は芳しくなく、まともな職を得られない時期が長く続いたとあります。英国王立協会からコプリ・メダルを受けたのは $1841$ 年、ミュンヘンの教授になったのは $1849$ 年でした。

いまは抵抗の単位に名前が残っています。

$10 Ω$ と $40 Ω$ を並列にしたときの合成抵抗はどれですか。

$50 Ω$
$8 Ω$
$25 Ω$

__RESULT__

$1/ R = 1/10 + 1/40 = 5/40$ なので $R = 8 Ω$ です。いちばん小さい $10 Ω$ よりさらに小さくなります。 $50 Ω$ は直列の値、 $25 Ω$ は平均をとった値になります。

直列につないだ $20 Ω$ と $30 Ω$ について、正しいものはどれですか。

$20 Ω$ のほうに大きい電流が流れる
どちらにも同じ電流が流れ、 $30 Ω$ のほうに大きい電圧がかかる
どちらにも同じ電圧がかかる

__RESULT__

道が 1 本なので電流は共通です。 $V = I R$ で $I$ が同じだから、電圧は抵抗に比例して分かれます。電圧が同じになるのは並列のほうです。

つなぎ方を見たら、まず何がそろうかを決めます。直列なら電流、並列なら電圧。そこが決まれば、残りは $V = I R$ を並べて足すだけになります。

同じ電池に豆電球を 2 個。一列につなぐと暗くなり、枝分かれさせると 2 個とも同じ明るさで光ります。結果が分かれるのは、そろう量が入れかわるためです。直列は道が 1 本だから電流がそろい、電圧が抵抗の比に分かれる。並列は同じ 2 点をつなぐので電圧がそろい、電流が逆比に分かれます。ここから合成の式は自分で作れて、共通する量のほうで足すだけ。並列の合成はいちばん小さい抵抗よりさらに小さくなります。通り道が増えたぶん流れやすくなるため。混ざった回路は内側の並列からまとめ、電圧を戻して電流を分けると、全体の値と合うところまで確かめられます。銅線の抵抗を長さと断面積から求める計算、オームの発表が長く評価されなかった経緯まで。