コンデンサーの合成容量〜直列と並列が抵抗と逆になる仕組み

コンデンサーの合成容量は、抵抗と逆の形になります。並列で足し算、直列で逆数の和です^[1]。

$$C_{\text{並列}}=C_1+C_2+\cdots$$

$$\frac{1}{C_{\text{直列}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$$

丸暗記すると、抵抗のほうと入れかわります。どちらがそろうかを追えば、式は自分で作れる。

並列は電圧がそろう

並列につないだコンデンサーは、どれも同じ 2 点のあいだにあるので電圧が等しくなります^[1]。

電荷のほうは分かれます。それぞれが $Q_i=C_{i}V$ をため、全部を足したものが全体の電荷。

$$\begin{array}{rl}Q& =Q_1+Q_2=C_{1}V+C_{2}V\\ & =(C_1+C_2)V\end{array}$$

$V$ でくくれば、合成容量が足し算だと分かります。

直列は電荷がそろう

直列では、どのコンデンサーにも同じ大きさの電荷がたまります^[1]。

理由は、あいだにはさまれた導体が電池とつながっていないことです。全体としては電気的に中性のまま、片側に $-Q$、反対側に $+Q$ が現れる。1 か所に $Q$ がたまれば、鎖のように同じ $Q$ が並びます。

電圧のほうが分かれます。

$$\begin{array}{rl}V& =V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}\\ & =Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)\end{array}$$

括弧の中が $1/C$ にあたります。2 個だけなら和分の積も使えます。

$$C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$$

抵抗と逆になる理由

抵抗 $R$ は流れにくさをあらわし、容量 $C$ はたまりやすさをあらわします。向きが逆の量なので、合成の形も入れかわる。

比べるなら、$C$ ではなく $1/C$ を「たまりにくさ」として見ます。この $1/C$ は $R$ と同じふるまいをする。直列で足され、並列で逆数の和になります。

形で見ると納得できる

同じコンデンサー 2 個を並列にすると、極板の面積が 2 倍になったのと同じです。$C=\epsilon S/d$ の $S$ が倍になる。

直列にすると、間隔が 2 倍になったのと同じ。$d$ が倍になるので容量は半分です^[2]。

つなぎ方の式を忘れても、極板の形がどう変わったかを思い出せば向きが決まります。並列は横に広がり、直列は縦に伸びる。

例 1：並列でつなぐ

$1.0\mu \mathrm{F}$、$5.0\mu \mathrm{F}$、$8.0\mu \mathrm{F}$ を並列にします^[1]。

$$C=1.0+5.0+8.0=14.0\mu \mathrm{F}$$

いちばん大きい $8.0\mu \mathrm{F}$ よりさらに大きくなります。並列では必ずこうなる。

例 2：直列でつなぐ

同じ 3 個を直列にします^[1]。

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{1.000}+\frac{1}{5.000}+\frac{1}{8.000}=1.325$$

$$C=0.755\mu \mathrm{F}$$

いちばん小さい $1.000\mu \mathrm{F}$ よりさらに小さくなりました。直列では必ずこうなります。

例 3：直列での電圧の分かれ方

$2.0\mu \mathrm{F}$ と $6.0\mu \mathrm{F}$ を直列にし、$12\mathrm{V}$ を掛けます。

合成容量は $2.0\times 6.0/(2.0+6.0)=1.5\mu \mathrm{F}$。たまる電荷は次のとおり。

$$Q=1.5\times 10^{-6}\times 12=1.8\times 10^{-5}\mathrm{C}$$

この $18\mu \mathrm{C}$ が両方に共通です。電圧はそれぞれ $18/2.0=9.0\mathrm{V}$ と $18/6.0=3.0\mathrm{V}$。

小さい容量のほうに大きい電圧が掛かります。抵抗の直列とは逆の分かれ方になる。

例 4：混ざった回路

$3.0\mu \mathrm{F}$ と $6.0\mu \mathrm{F}$ の直列に、$4.0\mu \mathrm{F}$ を並列でつなぎます。

直列の部分からまとめます。

$$\frac{3.0\times 6.0}{3.0+6.0}=2.0\mu \mathrm{F}$$

これに $4.0\mu \mathrm{F}$ を並列で足して $6.0\mu \mathrm{F}$。抵抗のときと手順は同じで、足す場所だけが入れかわります。

例 5：同じものを並べる

$10\mu \mathrm{F}$ を $n$ 個並列にすると $10n\mu \mathrm{F}$、直列にすると $10/n\mu \mathrm{F}$ です。

4 個なら $40\mu \mathrm{F}$ と $2.5\mu \mathrm{F}$。同じ部品でも、つなぎ方で 16 倍の差が出ます。

例 6：エネルギーで確かめる

例 3 の回路で、それぞれがたくわえるエネルギーを出します。$U=\frac{1}{2}QV$ を使う。

$$U_1=\frac{1}{2}\times 1.8\times 10^{-5}\times 9.0=8.1\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

$$U_2=\frac{1}{2}\times 1.8\times 10^{-5}\times 3.0=2.7\times 10^{-5}\mathrm{J}$$

合計は $1.08\times 10^{-4}\mathrm{J}$。合成容量から出した $\frac{1}{2}\times 1.5\times 10^{-6}\times 12^2=1.08\times 10^{-4}\mathrm{J}$ と一致します。

抵抗との対応

並列はどちらも電圧がそろいます。分かれるのが抵抗では電流、コンデンサーでは電荷。

直列でそろうものが違うところが、式の形を分けています。抵抗は電流、コンデンサーは電荷。ここを押さえておけば、どちらの式も導き直せます。

参考文献