ガウスの法則で電場を求める考え方

電場を求めるとき、クーロンの法則で一つ一つの電荷からの寄与を足し合わせるのは大変です。対称性のよい問題では、ガウスの法則を使うともっとスマートに電場を求められます。

ガウスの法則とは

ガウスの法則は「閉じた面を貫く電気力線の総数は、その面の内部にある電荷の総量に比例する」という法則です。数式で書くと、

$\oint E \cdot d A = \frac{Q _{内部}}{ε _{0}}$

左辺は閉曲面上の電場の面積分（電束）、右辺は内部の電荷を真空の誘電率 $ε_{0}$ で割ったものです。

この法則の威力を発揮するのは、電場に対称性がある場合です。適切な閉曲面（ガウス面）を選ぶと、面積分が簡単になり、電場の大きさがすぐに求まります。

点電荷 $Q$ を中心に半径 $r$ の球面をガウス面として選びます。対称性から、電場は球面上のどこでも同じ大きさで、球面に垂直です。

$E \times 4 π r^{2} = \frac{Q}{ε _{0}}$

これを解くと、

$E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}} = k \frac{Q}{r ^{2}}$

クーロンの法則から求めた電場とぴったり一致します。ガウスの法則がクーロンの法則と等価であることがわかります。

単位長さあたりの電荷が $λ$ の無限に長い直線があるとき、直線を軸とする半径 $r$ 、長さ $l$ の円筒面をガウス面にとります。

対称性から電場は円筒の側面に垂直で、上下の蓋からは電場が貫きません。したがって、

$E \times 2 π r l = \frac{λ l}{ε _{0}}$

$E = \frac{λ}{2 π ε _{0} r}$

距離 $r$ に反比例する電場が得られます。クーロンの法則で一つずつ足し合わせれば求められる結果ですが、ガウスの法則なら数行で導出できるのです。

面電荷密度 $σ$ の無限平面が作る電場は、ガウスの法則で最も簡潔に求められます。平面を貫く円筒（ガウスの枕）をとると、電場は平面のどちら側でも一様で $E = σ / (2 ε_{0})$ になります。

平面の両側に蓋が飛び出す円筒形のガウス面。形が枕に似ていることからこの名がある。

点電荷の電場

$E \propto 1/ r^{2}$ （距離の二乗に反比例）

無限平面の電場

$E = σ / (2 ε_{0})$ （距離によらず一定）

平面電荷の電場が距離に依存しないというのは意外に思えるかもしれません。遠ざかると一つ一つの電荷からの力は弱くなりますが、視野に入る電荷の数が増えるため、全体として打ち消し合って一定になるのです。

ガウスの法則は万能ではなく、対称性がある場合にのみ威力を発揮します。

球対称

点電荷、球殻、一様に帯電した球。球面をガウス面にとります。

円筒対称

無限に長い直線電荷、円柱。同軸円筒をガウス面にとります。

平面対称

無限平面電荷。平面を貫く円筒（ガウスの枕）をガウス面にとります。

対称性がない一般の電荷分布に対しては、クーロンの法則に戻って積分するか、数値計算に頼ることになります。しかし、多くの教科書的な問題や実用的な場面では上記の 3 パターンのいずれかに帰着できることが多く、ガウスの法則は電磁気学の強力な道具であり続けています。