ガウスの法則と電場の求め方：球と円筒と平面

金属球に電荷をためて、外側の電場を測ります。球のどこに電荷が散らばっているかは分かりません。それでも、全部の電荷が中心の 1 点に集まっているとして計算すると、測った値と合います。

中身の配り方をとばして答えが出るのは、閉じた面を通り抜ける電気力線の本数が、面の中にある電荷だけで決まるからです。

外の電荷は数に入らない

閉じた面をひとつ思い浮かべます。面の外に電荷があると、そこから出た線は面へ入り、反対側から出ていく。

入った本数と出た本数が同じなので、差し引きで $0$ になります。面の中にある電荷だけが、通り抜けた本数として残る。

貫いた本数の合計と、中の電荷の関係が次の式です。

$$N=\frac{Q_{\text{中}}}{{\epsilon }_0}$$

電気力線の本数の決め方は、点電荷のときと同じもの。中の電荷が同じなら、面をどう変えても本数は変わりません。

面の形をこちらで選べる

強みはここです。電場の大きさが面の上でどこでも同じになるように面を選ぶと、本数の計算がかけ算 1 回で済みます。

$$E\times S=\frac{Q_{\text{中}}}{{\epsilon }_0}$$

$S$ は電気力線が垂直に抜ける部分の面積です。電場が一定でない面をとると、この形にはなりません。

使えるのは、電荷の配り方に対称性があるときだけ。球、円筒、平面の 3 つが、その対称性にあたります。

球なら 2 乗で落ちる

電荷を球の中心のまわりに対称に配ると、電場はどこでも中心から外向きで、同じ距離なら同じ大きさになります。だから半径 $r$ の球面を選ぶ。

球面の面積は $4\pi r^2$ です。

$$E\times 4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

$$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=k\frac{Q}{r^2}$$

点電荷の式と同じものになりました。球の外から見るかぎり、中の配り方は答えに残りません。

円筒なら反比例

長い直線に電荷が並んでいる場合です。$1\mathrm{m}$ あたりの電荷を $\lambda$ とします。

導線を軸にした、半径 $r$ で長さ $l$ の円筒を選びます。電気力線が抜けるのは側面だけで、上下のふたは平行に通り過ぎるため数に入らない。

側面の面積は $2\pi rl$ です。

$$E\times 2\pi rl=\frac{\lambda l}{{\epsilon }_0}$$

$l$ が両辺から消えます。

$$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$$

$r$ の 1 乗で落ちる形になりました。直線電流のまわりの磁界が $1/r$ で落ちるのと、面の選び方が同じです。

平面なら落ちない

広い板に一様に電荷をのせた場合です。$1{\mathrm{m}}^2$ あたりの電荷を $\sigma$ とします。

板をはさむ円筒を選びます。抜けるのは上下のふた 2 枚で、側面は平行に通り過ぎる。

$$E\times 2S=\frac{\sigma S}{{\epsilon }_0}$$

$S$ が消えて、距離も入りません。

$$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

3 つを並べる

面積に $r$ が何乗ぶん入っているかが、そのまま落ち方になります。球は 2 乗、円筒は 1 乗、平面は $0$ 乗。

一様に帯電した球の内側

中身がつまった球に、電荷が一様に散らばっているとします。内側の点ではどうなるでしょうか。

半径 $r$ の球面を選ぶと、その中にある電荷は全体の一部だけです。体積の比で $r^3/R^3$ 倍。

$$E\times 4\pi r^2=\frac{Q}{{\epsilon }_0}\cdot \frac{r^3}{R^3}$$

$r^2$ で割ると、$r$ が 1 つ残ります。

$$E=\frac{kQ}{R^3}r$$

内側では距離に比例して増え、表面で最大になり、外側からは 2 乗で落ちる。中心では $0$ です。

金属球の場合は形が違います。電荷が表面だけに集まるため、内側には電荷がなく、電場は $0$ のまま。表面で急に立ち上がります。

例：球の外と内

$Q=1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ を半径 $0.10\mathrm{m}$ の球に一様に配ります。まず外側の $r=0.20\mathrm{m}$。

$$E=9.0\times 10^9\times \frac{1.0\times 10^{-6}}{(0.20{)}^2}=2.3\times 10^{5}N/C$$

表面 $r=0.10\mathrm{m}$ では $9.0\times 10^{5}N/C$ です。内側の $r=0.05\mathrm{m}$ は表面の半分の距離だから、$4.5\times 10^{5}N/C$。

例：本数から確かめる

同じ $Q$ から出る本数は $N=Q/{\epsilon }_0=1.1\times 10^5$ です。

$r=0.20\mathrm{m}$ の球面の面積は $4\pi \times (0.20{)}^2=0.50{\mathrm{m}}^2$。

$$\frac{1.1\times 10^5}{0.50}=2.2\times 10^{5}N/C$$

前の例と合いました。$9.0\times 10^9$ が丸めた値のため、末尾はわずかにずれます。

例：直線電荷

$1\mathrm{m}$ あたり $1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ が並んだ直線から $0.10\mathrm{m}$ の点を調べます。$1/(2\pi {\epsilon }_0)=2k$ を使うと計算が軽い。

$$E=\frac{2\times 9.0\times 10^9\times 1.0\times 10^{-6}}{0.10}=1.8\times 10^{5}N/C$$

$0.20\mathrm{m}$ に離すと $9.0\times 10^{4}N/C$ で、ちょうど半分。球なら 4 分の 1 まで落ちるところです。

例：同軸ケーブルの外側

芯線に $+Q$、外側の筒に $-Q$ が流れているとします。筒の外に円筒面を選ぶと、中に入っている電荷は $+Q$ と $-Q$ の合計で $0$。

$$E\times 2\pi rl=0$$

外の電場は $0$ です。信号が外へもれず、外からの雑音も入らないのは、この打ち消しによります。

面をこちらで選べることが、この法則の使いどころです。電場が一定になる面が引けるなら、あとは面積で割るだけで終わります。