ここまでは天体が つの世界でした。楕円は閉じ、位置は式で出て、 年先まで同じ手つきで計算できました。
つ目を足します。同じ重さのものを つ、それだけです。すると道は二度と同じところを通らなくなります。
閉じた形の答えは出てきません。 つ足しただけで、書き下せていたものが書き下せなくなります。
この落差が、天体力学のいちばん深いところにあります。ニュートンが式を出してから 年、多くの人がここで止まりました。
なぜ書けないのか。数えてみると分かります。
つの天体を追うには、位置と速度で 個の数が要ります。この 個を減らせるのが保存量です。重心の運動で 個、角運動量で 個、エネルギーで 個。合わせて 個です。
個足りません。 体のときは、保存量だけで必要な数がちょうど埋まっていました。だから式に書けたのです。
ほかに使える保存量はないのか。ブルンスが 年に、ポアンカレが 年に、そういうものは存在しないことを示しました。見つかっていないのではなく、ないと証明されています。
式に書けなくても、値は出せます。いまの位置と速度から力を出し、わずかな時間だけ進める。それをくり返します。
刻みごとに、わずかなずれが出ます。力が刻みのあいだ一定だとみなして進めるからで、実際には変わっているぶんが誤差になります。
刻みを細かくすればずれは小さくなりますが、消えはしません。そして刻みの数が増えるので、積もる回数も増えます。ここには、どこまでも細かくすればよい、という逃げ道がありません。
進め方の工夫はいろいろあります。エネルギーが長い目で保たれる進め方を使えば、 億年ぶんの計算にも耐えます。それでも、 回の式で済ませることはできません。
すべての置き方で解けないわけではありません。特別に整った置き方なら、閉じた形が書けます。
オイラーは 年、 つが一直線に並んだまま回る解を見つけました。ラグランジュは 年、正三角形を保ったまま回る解を見つけました。どちらも形を変えずに回るので、 体と同じように扱えます。
年には、 の字の解が数値で見つかりました。 つが同じ 本の道を順に追いかけていく、風変わりな解です。 年に、それがほんとうに存在することが証明されました。
こうした解はいまも見つかりつづけています。ただ、どれも特別な置き方に限られます。任意の置き方で使える式は、やはりありません。
解けない、という言葉が何を指すのかを、はっきりさせておきます。
計算できない、という意味ではありません。 体の位置は、必要な精度で、いくらでも出せます。探査機の航行も惑星の位置も、実際にそうやって出しています。
言っているのは、閉じた式に書けない、ということだけです。 体では時刻を式に入れれば位置が出ました。 体では、知りたい時刻まで刻んで進めるしかありません。
そして、この違いはただの手数の違いにとどまりません。刻んで進めるしかない、ということが、この章の残りにつながっていきます。それでも実際に航行できていること、 体の中にも動かない場所があること、そしてそのずれが開いていくことです。