(a+b)² の展開公式【中学数学】

$(a + b)^{2}$ という形の式を展開する公式を学びます。これは「和の平方公式」と呼ばれ、展開の中でも特によく使う形です。

公式の導出

$(a + b)^{2}$ は $(a + b) (a + b)$ と同じ意味です。これを前回学んだ方法で展開してみましょう。

$(a + b) (a + b) = a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

真ん中の $ab$ が 2 つ出てくるので、まとめると $2 ab$ になります。

展開前

$(a + b)^{2}$

展開後

$a^{2} + 2 ab + b^{2}$

公式の覚え方

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ という公式は、次のように覚えます。

第 1 項

前の項の 2 乗 → $a^{2}$

第 2 項

前の項 × 後ろの項 × 2 → $2 ab$

第 3 項

後ろの項の 2 乗 → $b^{2}$

具体的な計算例

$(x + 5)^{2}$ を公式で展開します。 $a = x$ 、 $b = 5$ として公式に当てはめると、 $x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ です。

$(3 x + 2)^{2}$ の場合は、 $a = 3 x$ 、 $b = 2$ なので、 $(3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = 9 x^{2} + 12 x + 4$ となります。 $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ となることに注意してください。

よくある間違い

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ と計算してしまう間違いが非常に多いです。真ん中の $2 ab$ を忘れないようにしましょう。

$(x + 7)^{2}$ を展開した結果は？

$x^{2} + 49$
$x^{2} + 7 x + 49$
$x^{2} + 14 x + 49$
$x^{2} + 14 x + 14$

__RESULT__

$2 \times x \times 7 = 14 x$ が真ん中の項です。 $7^{2} = 49$ が定数項になります。