置き換えを使った因数分解【中学数学】

複雑な式でも、一部を別の文字に置き換えることで公式が使えるようになります。展開で学んだ置き換えのテクニックを、因数分解でも活用しましょう。

置き換えの基本

$(x + y)^{2} - 4$ という式を因数分解します。このままでは難しそうですが、 $x + y = A$ と置くと $A^{2} - 4$ となり、「2 乗引く 2 乗」の形が見えてきます。

$A^{2} - 4 = (A + 2) (A - 2)$

$A$ を $x + y$ に戻すと、 $(x + y + 2) (x + y - 2)$ が答えです。

置き換え前

$(x + y)^{2} - 4$

置き換え後

$A^{2} - 4 = (A + 2) (A - 2)$ （ $A = x + y$ ）

$(x + 1)^{2} + 5 (x + 1) + 6$ を因数分解してみましょう。 $x + 1$ が繰り返し現れているので、 $x + 1 = t$ と置きます。

$t^{2} + 5 t + 6 = (t + 2) (t + 3)$

「足して $5$ 、かけて $6$ 」なので $2$ と $3$ です。 $t$ を戻すと、 $(x + 1 + 2) (x + 1 + 3) = (x + 3) (x + 4)$ となります。

ポイント 1

式の中に繰り返し現れる部分を探す

ポイント 2

その部分を 1 つの文字に置き換える

ポイント 3

普通に因数分解してから元に戻す

$(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$ を因数分解します。

$a + b = P$ 、 $a - b = Q$ と置くと、 $P^{2} - Q^{2} = (P + Q) (P - Q)$ です。

$P + Q = (a + b) + (a - b) = 2 a$

$P - Q = (a + b) - (a - b) = 2 b$

よって、答えは $2 a \cdot 2 b = 4 ab$ となります。実は、この式は因数分解というより計算で $4 ab$ という単項式になります。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 9$ は、前半 3 項が $(x + y)^{2}$ に因数分解できます。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 9 = (x + y)^{2} - 9 = (x + y)^{2} - 3^{2}$

「2 乗引く 2 乗」の形になったので、 $(x + y + 3) (x + y - 3)$ と因数分解できます。

$(x - 2)^{2} - 6 (x - 2) + 9$ を因数分解した結果は？

__RESULT__

$x - 2 = t$ と置くと $t^{2} - 6 t + 9 = (t - 3)^{2}$ 。 $t$ を戻すと $(x - 2 - 3)^{2} = (x - 5)^{2}$ です。