置き換えを使った展開【中学数学】

複雑な式でも、一部を別の文字に置き換えることで公式が使えるようになります。この「置き換え」のテクニックを身につけると、応用問題に強くなります。

置き換えの基本

$(x + y + 3)^{2}$ のような式を考えます。このままでは公式が使えませんが、 $x + y = A$ と置き換えると $(A + 3)^{2}$ となり、和の平方公式が使えます。

$(A + 3)^{2} = A^{2} + 6 A + 9$

最後に $A$ を $x + y$ に戻すと、 $(x + y)^{2} + 6 (x + y) + 9$ です。 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ なので、さらに展開すると $x^{2} + 2 x y + y^{2} + 6 x + 6 y + 9$ になります。

置き換え前

$(x + y + 3)^{2}$

置き換え後

$(A + 3)^{2}$ （ $A = x + y$ ）

和と差の積への応用

$(a + b + c) (a + b - c)$ を展開してみましょう。 $a + b = M$ と置くと、 $(M + c) (M - c)$ となり、和と差の積の形になります。

$(M + c) (M - c) = M^{2} - c^{2} = (a + b)^{2} - c^{2}$

$(a + b)^{2}$ を展開すると、最終的に $a^{2} + 2 ab + b^{2} - c^{2}$ です。

共通部分を見つける

$(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ のような式は、組み合わせを工夫します。 $(x + 1) (x + 4) = x^{2} + 5 x + 4$ と $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ を計算すると、 $x^{2} + 5 x$ が共通です。

$x^{2} + 5 x = t$ と置くと、 $(t + 4) (t + 6) = t^{2} + 10 t + 24$ となります。あとは $t$ を戻して展開します。

ポイント 1

複雑な式の中に「同じ形」を見つける

ポイント 2

同じ形を 1 つの文字に置き換えて公式を適用

ポイント 3

最後に元の式に戻して整理

置き換えを使う問題の見分け方

式の一部が繰り返し現れているとき、置き換えが有効です。 $(2 x + 3)$ が複数回出てくるなら、それを $A$ と置くことを考えましょう。

$(x - y + 5) (x - y - 5)$ を展開した結果は？

$x^{2} - y^{2} - 25$
$x^{2} + y^{2} - 25$
$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 25$
$x^{2} - 2 x y - y^{2} - 25$

__RESULT__

$x - y = M$ と置くと $(M + 5) (M - 5) = M^{2} - 25$ 。 $M^{2} = (x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ です。