(a-b)² の展開公式【中学数学】

$(a - b)^{2}$ という形の式を展開する公式を学びます。「差の平方公式」と呼ばれ、和の平方公式とセットで覚えておく必要があります。

公式の導出

$(a - b)^{2}$ は $(a - b) (a - b)$ と同じです。展開してみましょう。

$(a - b) (a - b) = a^{2} - ab - ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

$- ab$ が 2 つ出てくるので、まとめると $- 2 ab$ になります。

展開前

$(a - b)^{2}$

展開後

$a^{2} - 2 ab + b^{2}$

和の平方との違い

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ と比べてみましょう。違いは真ん中の項の符号だけです。

(a + b)^{2}

$a^{2} + 2 ab + b^{2}$ （真ん中がプラス）

(a - b)^{2}

$a^{2} - 2 ab + b^{2}$ （真ん中がマイナス）

最後の項 $b^{2}$ はどちらもプラスになることに注意してください。 $(- b)^{2} = b^{2}$ だからです。

具体的な計算例

$(x - 4)^{2}$ を展開します。 $a = x$ 、 $b = 4$ として、 $x^{2} - 2 \times x \times 4 + 4^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ です。

$(2 x - 3)^{2}$ の場合は、 $a = 2 x$ 、 $b = 3$ なので、 $(2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ となります。

よくある間違い

$(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ と計算してしまうのは間違いです。これは別の公式 $(a + b) (a - b)$ の結果と混同しています。また、 $(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x - 16$ のように最後の項をマイナスにしてしまう間違いもあります。2 乗は必ずプラスです。

$(x - 9)^{2}$ を展開した結果は？

$x^{2} - 81$
$x^{2} - 9 x + 81$
$x^{2} - 18 x + 81$
$x^{2} - 18 x - 81$

__RESULT__

$2 \times x \times 9 = 18 x$ が真ん中の項で、符号はマイナス。 $9^{2} = 81$ はプラスのままです。