x²-a² の因数分解【中学数学】

$x^2-a^2$ という「2 乗 引く 2 乗」の形は、和と差の積の公式で因数分解できます。シンプルで覚えやすく、使う頻度も高い公式です。

公式の確認

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ の逆として、次の因数分解公式が得られます。

「2 乗 引く 2 乗」を見たら、この公式を思い出してください。

見分け方のポイント

この公式が使えるのは、次の 2 つの条件を満たすときです。

$x^2-16$ は、$x^2$ が $x$ の 2 乗、$16$ が $4$ の 2 乗なので、$(x+4)(x-4)$ と因数分解できます。

具体例

$9x^2-25$ を因数分解します。$9x^2=(3x{)}^2$、$25=5^2$ なので、$(3x+5)(3x-5)$ です。

$x^2-1$ の場合、$1=1^2$ なので $(x+1)(x-1)$ となります。

$49a^2-64b^2$ では、$49a^2=(7a{)}^2$、$64b^2=(8b{)}^2$ なので、$(7a+8b)(7a-8b)$ です。

使えない場合

$x^2+9$ のように「2 乗 足す 2 乗」の形は、この公式では因数分解できません。また、$x^2-5$ のように $5$ が何かの 2 乗になっていない場合も、整数の範囲では因数分解できません。

見落としやすいケース

$x^4-16$ は一見すると 2 乗の形に見えませんが、$x^4=(x^2{)}^2$、$16=4^2$ と考えれば $(x^2+4)(x^2-4)$ と因数分解できます。さらに $x^2-4=(x+2)(x-2)$ なので、最終的に $(x^2+4)(x+2)(x-2)$ となります。