展開公式の使い分け【中学数学】

展開公式は複数ありますが、どの公式を使うかを正しく判断できないと計算が遅くなったり、間違いやすくなったりします。ここでは公式の使い分け方を整理します。

4 つの展開公式

まず、中学で学ぶ主要な展開公式を確認しましょう。

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

和の平方公式。同じものを 2 回かける形。

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

差の平方公式。同じものを 2 回かける形。

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

和と差の積。真ん中の項が消える。

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

$x$ が共通で、後ろの数が違う形。

問題を見たとき、次の順番でチェックすると効率的です。

かっこの中身が同じか確認

同じなら $(a + b)^{2}$ か $(a - b)^{2}$

違うなら和と差の積か $(x + a) (x + b)$ 型

どれでもなければ普通に展開

$(x + 5)^{2}$ は、同じかっこが 2 つなので和の平方公式です。 $x^{2} + 10 x + 25$ と計算できます。

$(x + 5) (x - 5)$ は、 $x + 5$ と $x - 5$ で符号だけ違うので和と差の積です。 $x^{2} - 25$ になります。

$(x + 5) (x + 3)$ は、 $x$ が共通で後ろの数が違うので $(x + a) (x + b)$ 型です。 $x^{2} + 8 x + 15$ となります。

$(x + 5) (y + 3)$ は、どの公式にも当てはまらないので、普通に 1 つずつかけて展開します。 $x y + 3 x + 5 y + 15$ です。

公式を使えば、いちいち 4 つの項を書き出す必要がなくなります。特に和と差の積は、真ん中の項が消えることを知っていれば計算が大幅に速くなります。

$(2 x - 7) (2 x + 7)$ にはどの公式を使う？

__RESULT__

$2 x - 7$ と $2 x + 7$ は符号だけ違うので、和と差の積です。答えは $4 x^{2} - 49$ となります。