x²+2ax+a² の因数分解【中学数学】

$x^{2} + 2 a x + a^{2}$ や $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ という形の式は、平方公式の逆を使って因数分解できます。

公式の確認

展開公式を逆に見ると、因数分解の公式になります。

展開

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

因数分解

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$

同様に、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ の逆として、 $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ が成り立ちます。

$x^{2} + 6 x + 9$ を因数分解してみましょう。この式が平方公式に当てはまるかチェックします。

まず、第 1 項 $x^{2}$ は $x$ の 2 乗です。第 3 項 $9$ は $3$ の 2 乗です。そして第 2 項 $6 x$ は $2 \times x \times 3$ と一致します。よって、 $(x + 3)^{2}$ と因数分解できます。

チェック 1

第 1 項と第 3 項がそれぞれ何かの 2 乗か

チェック 2

第 2 項が「2 × 第 1 項の底 × 第 3 項の底」と一致するか

チェック 3

第 2 項の符号で、和の平方か差の平方か判断

$x^{2} - 10 x + 25$ を因数分解します。 $25 = 5^{2}$ 、 $10 x = 2 \times x \times 5$ なので、平方公式が使えます。第 2 項がマイナスなので、 $(x - 5)^{2}$ が答えです。

$4 x^{2} + 12 x + 9$ の場合、 $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ 、 $9 = 3^{2}$ 、 $12 x = 2 \times 2 x \times 3$ です。よって $(2 x + 3)^{2}$ となります。

$x^{2} + 5 x + 9$ は平方公式で因数分解できません。 $9 = 3^{2}$ ですが、 $5 x \neq = 2 \times x \times 3 = 6 x$ だからです。このような場合は、別の方法（ $(x + a) (x + b)$ 型など）を試す必要があります。

$x^{2} - 14 x + 49$ を因数分解した結果は？

__RESULT__

$49 = 7^{2}$ 、 $14 x = 2 \times x \times 7$ なので平方公式が使えます。第 2 項がマイナスなので $(x - 7)^{2}$ です。