式の計算への応用【中学数学】

展開公式や因数分解を使うと、一見複雑な数値計算を簡単に解くことができます。暗算や筆算では大変な計算も、工夫次第で楽になります。

和と差の積の応用

$53 \times 47$ を計算してみましょう。普通に筆算すると大変ですが、 $53 = 50 + 3$ 、 $47 = 50 - 3$ と見ると、和と差の積の形になっています。

$53 \times 47 = (50 + 3) (50 - 3) = 5 0^{2} - 3^{2} = 2500 - 9 = 2491$

2 乗の計算だけで答えが出ました。

普通の計算

$53 \times 47$ を筆算で計算

公式利用

$(50 + 3) (50 - 3) = 2500 - 9 = 2491$

$9 9^{2}$ を計算します。 $99 = 100 - 1$ と見ると、差の平方公式が使えます。

$9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10 0^{2} - 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$

同様に、 $10 2^{2} = (100 + 2)^{2} = 10000 + 400 + 4 = 10404$ と計算できます。

キリの良い数からの差

$99 = 100 - 1$ 、 $102 = 100 + 2$ のように変形

公式を適用

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$

計算を実行

キリの良い数の 2 乗は計算しやすい

$52 \times 58$ を計算します。どちらも $50$ に近い数なので、 $52 = 50 + 2$ 、 $58 = 50 + 8$ と見ます。

$52 \times 58 = (50 + 2) (50 + 8) = 5 0^{2} + (2 + 8) \times 50 + 2 \times 8$

$= 2500 + 500 + 16 = 3016$ となります。

$3 7^{2} - 3 3^{2}$ を計算します。これは「2 乗引く 2 乗」の形なので、因数分解の公式を使えます。

$3 7^{2} - 3 3^{2} = (37 + 33) (37 - 33) = 70 \times 4 = 280$

それぞれ 2 乗して引き算するより、はるかに簡単です。

$95 \times 105$ を公式を使って計算した結果は？

__RESULT__

$(100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10000 - 25 = 9975$ です。