(x+a)(x+b) の展開公式【中学数学】

$(x + a) (x + b)$ という形の式を展開する公式を学びます。因数分解を学ぶ際に逆方向でも使うことになる、非常に重要な公式です。

公式の導出

$(x + a) (x + b)$ を展開してみましょう。

$(x + a) (x + b) = x^{2} + b x + a x + ab = x^{2} + (a + b) x + ab$

$x$ の係数は $a + b$ （2 つの数の和）、定数項は $ab$ （2 つの数の積）になります。

展開前

$(x + a) (x + b)$

展開後

$x^{2} + (a + b) x + ab$

x^{2}

の係数

常に 1

x

の係数

$a$ と $b$ の和

定数項

$a$ と $b$ の積

この関係を覚えておくと、因数分解のときに役立ちます。

$(x + 3) (x + 5)$ を公式で展開します。 $a = 3$ 、 $b = 5$ なので、 $x$ の係数は $3 + 5 = 8$ 、定数項は $3 \times 5 = 15$ です。答えは $x^{2} + 8 x + 15$ になります。

$(x + 2) (x - 7)$ の場合は、 $a = 2$ 、 $b = - 7$ と考えます。 $x$ の係数は $2 + (- 7) = - 5$ 、定数項は $2 \times (- 7) = - 14$ なので、 $x^{2} - 5 x - 14$ です。

$(x - 4) (x - 6)$ では、 $a = - 4$ 、 $b = - 6$ です。和は $- 10$ 、積は $24$ となり、 $x^{2} - 10 x + 24$ が答えです。

定数項の符号と $x$ の係数の符号には、パターンがあります。 $a$ 、 $b$ が両方プラスなら定数項も $x$ の係数もプラス。両方マイナスなら定数項はプラスで $x$ の係数はマイナス。片方だけマイナスなら定数項がマイナスになります。

$(x - 3) (x + 8)$ を展開した結果は？

__RESULT__

$- 3 + 8 = 5$ が $x$ の係数、 $(- 3) \times 8 = - 24$ が定数項です。