因数分解と方程式【中学数学】

因数分解は二次方程式を解くための重要なツールです。ここでは、因数分解を使って方程式を解く方法を学びます。これは二次方程式の学習への橋渡しとなる内容です。

積が 0 になる条件

$A \times B = 0$ という式があるとき、答えが $0$ になるのはどんな場合でしょうか。 $A = 0$ または $B = 0$ のどちらか（または両方）が成り立つときだけです。

積が 0

$A \times B = 0$

意味すること

$A = 0$ または $B = 0$

この性質を使うと、因数分解できた式から方程式の解が求まります。

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$ を解いてみましょう。

左辺を因数分解すると $(x + 2) (x + 3) = 0$ となります。積が $0$ なので、 $x + 2 = 0$ または $x + 3 = 0$ です。したがって、 $x = - 2$ または $x = - 3$ が答えです。

二次式 $= 0$ の形にする

左辺を因数分解

それぞれの因数 $= 0$ とおく

一次方程式として解く

$x^{2} - 9 = 0$ を解きます。

$(x + 3) (x - 3) = 0$ と因数分解できるので、 $x = - 3$ または $x = 3$ です。

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ の場合、 $(x - 3)^{2} = 0$ なので、 $x = 3$ のみが解です（重解といいます）。

$x^{2} = 4 x$ は、移項して $x^{2} - 4 x = 0$ とします。 $x (x - 4) = 0$ と因数分解すると、 $x = 0$ または $x = 4$ が解です。

注意 1

必ず「 $= 0$ 」の形にしてから因数分解する

注意 2

$x^{2} = 4 x$ を $x$ で割ると $x = 0$ の解を見落とす

注意 3

因数分解できない場合は別の方法（解の公式など）を使う

ここで学んだ方法は、中学 3 年で本格的に学ぶ二次方程式の基本となります。因数分解で解けない場合に使う「平方完成」や「解の公式」は、その後で学習します。

まずは因数分解できる形の方程式を確実に解けるようにしておきましょう。

$x^{2} - x - 12 = 0$ の解は？

__RESULT__

$(x - 4) (x + 3) = 0$ と因数分解できます。 $x - 4 = 0$ から $x = 4$ 、 $x + 3 = 0$ から $x = - 3$ です。