式の値を求める【中学数学】

「$x=〇〇$ のとき、式の値を求めよ」という問題で、因数分解を使うと計算が楽になることがあります。代入の前にひと工夫することがポイントです。

基本的な考え方

$x=7$ のとき $x^2-14x+49$ の値を求めます。

そのまま代入すると $49-98+49=0$ ですが、先に因数分解すると $x^2-14x+49=(x-7{)}^2$ となります。$x=7$ を代入すると $(7-7{)}^2=0$ で、同じ答えが楽に出ます。

複雑な値の場合

$x=2+\sqrt{3}$ のとき $x^2-4x+1$ の値を求めます。

$\sqrt{3}$ が入っているので、直接代入すると計算が大変です。まず式を変形してみましょう。$x^2-4x+1$ は $(x-2{)}^2-3$ と変形できます（平方完成）。

$x-2=\sqrt{3}$ なので、$(x-2{)}^2-3=(\sqrt{3}{)}^2-3=3-3=0$ です。

和と積が与えられる問題

$a+b=5$、$ab=3$ のとき、$a^2+b^2$ の値を求めます。

$a$ と $b$ の値を求めなくても、式変形で解けます。$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ なので、$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ と変形できます。

$a^2+b^2=5^2-2\times 3=25-6=19$ が答えです。

同様に、$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ なども活用できます。

「2 乗の和」の公式化

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ という関係は覚えておくと便利です。和と積が分かれば、2 乗の和が計算できます。