式の値を求める【中学数学】

「 $x = 〇〇$ のとき、式の値を求めよ」という問題で、因数分解を使うと計算が楽になることがあります。代入の前にひと工夫することがポイントです。

基本的な考え方

$x = 7$ のとき $x^{2} - 14 x + 49$ の値を求めます。

そのまま代入すると $49 - 98 + 49 = 0$ ですが、先に因数分解すると $x^{2} - 14 x + 49 = (x - 7)^{2}$ となります。 $x = 7$ を代入すると $(7 - 7)^{2} = 0$ で、同じ答えが楽に出ます。

直接代入

$49 - 98 + 49$ を計算

因数分解後に代入

$(7 - 7)^{2} = 0^{2} = 0$

$x = 2 + 3$ のとき $x^{2} - 4 x + 1$ の値を求めます。

$3$ が入っているので、直接代入すると計算が大変です。まず式を変形してみましょう。 $x^{2} - 4 x + 1$ は $(x - 2)^{2} - 3$ と変形できます（平方完成）。

$x - 2 = 3$ なので、 $(x - 2)^{2} - 3 = (3)^{2} - 3 = 3 - 3 = 0$ です。

ポイント 1

与えられた $x$ の値の特徴を見る

ポイント 2

式を因数分解または変形する

ポイント 3

代入が簡単になる形を目指す

$a + b = 5$ 、 $ab = 3$ のとき、 $a^{2} + b^{2}$ の値を求めます。

$a$ と $b$ の値を求めなくても、式変形で解けます。 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ なので、 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ と変形できます。

$a^{2} + b^{2} = 5^{2} - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$ が答えです。

同様に、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ なども活用できます。

$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab$ という関係は覚えておくと便利です。和と積が分かれば、2 乗の和が計算できます。

$x = 3 - 2$ のとき、 $x^{2} - 6 x + 7$ の値は？

__RESULT__

$x^{2} - 6 x + 7 = (x - 3)^{2} - 2$ 。 $x - 3 = - 2$ なので、 $(- 2)^{2} - 2 = 2 - 2 = 0$ です。