x²+(a+b)x+ab の因数分解【中学数学】

$x^{2} + (a + b) x + ab$ という形の式は、 $(x + a) (x + b)$ と因数分解できます。「足して何、かけて何」という考え方がポイントです。

公式の確認

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ の逆を使います。

因数分解前

$x^{2} + (a + b) x + ab$

因数分解後

$(x + a) (x + b)$

$x$ の係数が「 $a$ と $b$ の和」、定数項が「 $a$ と $b$ の積」になっています。

$x^{2} + 7 x + 12$ を因数分解してみましょう。

足して $7$ 、かけて $12$ になる 2 つの数を探します。 $12$ の約数の組を考えると、 $1 \times 12$ 、 $2 \times 6$ 、 $3 \times 4$ があります。このうち、足して $7$ になるのは $3$ と $4$ です。

よって、 $x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)$ となります。

ステップ 1

定数項の約数の組を書き出す

ステップ 2

その中から、足して $x$ の係数になる組を探す

ステップ 3

$(x + 数) (x + 数)$ の形で答える

$x^{2} - 5 x + 6$ の場合、足して $- 5$ 、かけて $6$ （プラス）です。かけてプラス、足してマイナスなので、両方マイナスの数を探します。 $- 2$ と $- 3$ が該当し、 $(x - 2) (x - 3)$ です。

$x^{2} + 2 x - 15$ は、かけて $- 15$ （マイナス）、足して $2$ （プラス）です。絶対値が大きい方がプラスになります。 $5$ と $- 3$ が該当し、 $(x + 5) (x - 3)$ です。

$x^{2} - x - 12$ は、かけて $- 12$ 、足して $- 1$ です。 $3$ と $- 4$ が該当し、 $(x + 3) (x - 4)$ となります。

足して・かけての条件を満たす整数が存在しない場合、この方法では因数分解できません。例えば $x^{2} + 3 x + 5$ は、かけて $5$ になる組（ $1$ と $5$ ）を足しても $6$ で、 $3$ になりません。

$x^{2} - 2 x - 35$ を因数分解した結果は？

__RESULT__

かけて $- 35$ 、足して $- 2$ になる組は $5$ と $- 7$ です。 $(x + 5) (x - 7)$ が答えです。