(a+b)(a-b) の展開公式【中学数学】

$(a + b) (a - b)$ という形の式を展開する公式を学びます。「和と差の積」と呼ばれ、結果が非常にシンプルになる便利な公式です。

公式の導出

$(a + b) (a - b)$ を普通に展開してみましょう。

$(a + b) (a - b) = a^{2} - ab + ab - b^{2} = a^{2} - b^{2}$

真ん中の $- ab$ と $+ ab$ が打ち消し合って消えるため、結果は $a^{2} - b^{2}$ だけになります。

展開前

$(a + b) (a - b)$

展開後

$a^{2} - b^{2}$

この公式の結果には、真ん中の項がありません。「2 乗引く 2 乗」という形で、2 つの項だけになります。

和と差の積

同じ 2 つの項の「足し算」と「引き算」をかけた形

結果

前の項の 2 乗から後ろの項の 2 乗を引いた形

$(x + 6) (x - 6)$ を展開します。 $a = x$ 、 $b = 6$ として、 $x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36$ です。

$(3 x + 2) (3 x - 2)$ の場合は、 $a = 3 x$ 、 $b = 2$ なので、 $(3 x)^{2} - 2^{2} = 9 x^{2} - 4$ となります。

$(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ のように、文字どうしでも同じです。

$(a - b) (a + b)$ のように順番が逆でも、結果は同じ $a^{2} - b^{2}$ です。かけ算は順番を入れ替えても答えが変わらないからです。

$(x + 11) (x - 11)$ を展開した結果は？

__RESULT__

和と差の積なので、真ん中の項は消えます。 $1 1^{2} = 121$ を引くだけです。