固体の溶解度と溶解度曲線、再結晶で析出する量を計算する

熱い湯に硝酸カリウムを溶けるだけ溶かし、そのまま冷ますと、器の底に細い結晶が並びます。溶けきれなくなった分が固体に戻ったもの。

水 100 g に溶ける限界の質量を、その温度での溶解度といいます。限界まで溶かした溶液が飽和水溶液。

硝酸カリウムの溶解度は $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 31.7、$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 109.9 です^[1]。塩化ナトリウムは $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 35.9、$100{}^{\circ }\mathrm{C}$ でも 39.2 しかありません^[2]。

温度で大きく変わる物質は、冷やすだけで固体を回収できます。塩化ナトリウムのように平らな曲線をもつ物質では、冷やしても回収できない。

この差を使って純度を上げる操作が再結晶です。

冷やしたときの析出量

$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ の硝酸カリウム飽和水溶液 100 g を $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで冷やします。溶解度は 110 と 32 で計算する。

$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ では水 100 g と硝酸カリウム 110 g で飽和溶液 210 g になります。飽和溶液 100 g に含まれる量は、この比をそのまま縮めた値。

$$100\times \frac{100}{210}=47.6,100\times \frac{110}{210}=52.4$$

前が水、後ろが硝酸カリウムで、単位は g です。

冷やしても水の量は変わりません。$20{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 47.6 g に溶けていられるのは次の量。

$$47.6\times \frac{32}{100}=15.2$$

はじめの 52.4 g から引くと、37.2 g が結晶になります。

比を縮める計算をとばして、溶解度の差 110 − 32 をそのまま答えにすると合いません。水が 100 g ではなく 47.6 g しかないためです。

水和水をもつ結晶

硫酸銅（II）を水に溶かして冷やすと、析出するのは無水物ではなく青い五水和物 $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4\cdot 5{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ です。結晶に水が組みこまれ、その分の水が溶液から減ります。

式量 250 のうち $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4$ が 160、水が 90 を占めます。

無水物としての溶解度は $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ でおよそ 20、$100{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 75 です^[3]。以下は $60{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 40、$20{}^{\circ }\mathrm{C}$ で 20 として計算します。

$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ の硫酸銅（II）飽和水溶液 100 g を $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで冷やす。

$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ の飽和溶液 140 g に $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4$ が 40 g だから、100 g では $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4$ が 28.6 g、水が 71.4 g です。

析出する五水和物を $x$ g とおくと、そのうち $\mathrm{CuS}{\mathrm{O}}_4$ が $\frac{160}{250}x$、水が $\frac{90}{250}x$。どちらも溶液から抜けます。

残った溶液が $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ で飽和しているので、次の式が立つ。

$$\frac{28.6-0.64x}{71.4-0.36x}=\frac{20}{100}$$

$$\begin{array}{rl}28.6-0.64x& =14.28-0.072x\\ 14.32& =0.568x\\ x& =25.2\end{array}$$

五水和物として 25.2 g が析出します。水も一緒に抜けるところを忘れると、分母が 71.4 g のまま残って答えが大きくなる。

参考

溶解度曲線は、その温度で溶けていられる限界を示した線です。再結晶の計算は、冷やしても水の量が変わらない、という 1 点で通る。