微分ってけっきょく何なの？速さの話から入る高校数学2

車のスピードメーターが 60 を指しているとき、その車が 1 時間で 60 キロ進んだわけではありません。いまこの瞬間の速さが時速 60 キロだ、という意味です。

2 時間で 100 キロ走った車の平均の速さは時速 50 キロ。この 50 と、メーターの 60 は別のものです。前者は区間全体をならした値、後者は 1 点での値。

微分は、この「1 点での値」を計算で出すための道具です^[1]。

平均の速さは割り算で出る

物体の位置を時刻 $t$ の関数 $f (t)$ と書きます。 $t$ 秒後にどこにいるかを返す関数です。

5 秒後から 7 秒後までの平均の速さは、進んだ距離を掛かった時間で割ります。

$\frac{f ( 7 ) - f ( 5 )}{7 - 5}$

これは 5 秒後の速さでも 7 秒後の速さでもありません。2 秒間をならした値です。

小学校から中学校までの理科で速さといえば、この形だけでした。区間の両端さえ分かれば計算できる。

幅を縮めると値が動く

7 秒後のかわりに 5.1 秒後の位置を使うと、区間は 0.1 秒に縮みます。

$\frac{f ( 5.1 ) - f ( 5 )}{0.1}$

5 秒後の速さに近い値が出そうです。5.01 秒後ならもっと近く、5.001 秒後ならさらに近い。

幅を $h$ と書けば、5 秒後から $5 + h$ 秒後までの平均の速さはこうなります。

$\frac{f ( 5 + h ) - f ( 5 )}{h}$

$h$ を限りなく $0$ に近づけたときの行き先が、5 秒後の速さです。この行き先を微分係数といいます^[2]。

赤い直線が 2 点を結んだ線、薄い直線がその行き先です。 $h$ が小さくなるほど 2 本が重なっていきます。

例：位置が $t^{2}$ で表される運動

$f (t) = t^{2}$ とします。2 秒後の速さを出してみます。

2 秒後から $2 + h$ 秒後までの平均の速さは、分子を展開すると $h$ で約分できます。

$\frac{( 2 + h ) ^{2} - 2 ^{2}}{h} = \frac{4 + 4 h + h ^{2} - 4}{h} = \frac{4 h + h ^{2}}{h} = 4 + h$

$h$ を $0$ に近づけると $4 + h$ は $4$ に近づきます。2 秒後の速さは $4$ です。

$h$ を約分する前に $h = 0$ を入れると $\frac{0}{0}$ になります。約分してから近づける、という順番が要ります。

例：3 秒後と 5 秒後

同じ計算を 3 秒後で繰り返します。 $\frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h} = 6 + h$ なので、速さは $6$ 。

5 秒後なら $\frac{( 5 + h ) ^{2} - 25}{h} = 10 + h$ で、速さは $10$ です。

2 秒後が $4$ 、3 秒後が $6$ 、5 秒後が $10$ 。どれも時刻の $2$ 倍になっています。

時刻	平均の速さ	瞬間の速さ
$2$	$4 + h$	$4$
$3$	$6 + h$	$6$
$5$	$10 + h$	$10$

時刻ごとの速さを 1 つの関数にまとめると $2 t$ です。これを $t^{2}$ の導関数といいます。

微分係数と導関数はどう違うか

微分係数は 1 つの時刻に対する 1 つの数、導関数はどの時刻でも答えを返す関数です。

温度計の目盛りと、温度計そのものの違いに近い。片方は値、片方は値を出す仕組み。

微分係数

$t = 2$ での値は $4$ 。時刻を 1 つ決めたときの数

導関数

$2 t$ という式。どの時刻を入れても、その時刻の速さを返す

導関数が分かれば、微分係数は代入するだけで出ます。だから実際の計算では導関数を先に求めます。

傾きとして読む

速さの話をグラフに移すと、線の傾きになります。

位置のグラフ上で 2 点を結ぶと、その直線の傾きが平均の速さ。2 点を近づけていくと、直線は 1 点で触れる線に落ち着きます^[3]。

この 1 点で触れる線を接線といい、その傾きが微分係数です。

灰色の線が上から順に寝ていき、最後は赤い線に重なります。傾きは $5.6$ 、 $5.1$ 、 $4.7$ 、 $4.4$ 、 $4.2$ と下がって $4$ で止まる。

例：ボールの落下

地表付近で物を落とすと、 $t$ 秒間に落ちる距離はおよそ $5 t^{2}$ メートルです。

1 秒後の速さは $\frac{5 ( 1 + h ) ^{2} - 5}{h} = 10 + 5 h$ なので、秒速 $10$ メートル。

2 秒後は $\frac{5 ( 2 + h ) ^{2} - 20}{h} = 20 + 5 h$ で秒速 $20$ メートル。導関数は $10 t$ です。

落下では速さが時刻に比例して増えるので、グラフの傾きが右へ行くほどきつくなる。

傾きが変わり続けるから、区間をならした平均では 1 点の速さが出せない。

速さ以外にも使う

微分が扱うのは速さだけではありません。ある量が別の量につれてどう変わるか、を測る道具です。

正方形の 1 辺を $x$ とすると面積は $x^{2}$ 。辺を少し伸ばしたとき面積がどれだけ増えるかは、面積の導関数 $2 x$ が答えます^[4]。

1 辺 $3$ の正方形なら $2 \times 3 = 6$ 。辺を $0.01$ 伸ばすと面積は約 $0.06$ 増えます。

量を関数で書く

2 点のあいだの変化の割合を出す

2 点を近づけた行き先を見る

この 3 段は、速さでも面積でも同じです。だから 1 つの計算を覚えれば、いろいろな量に使い回せます。

縁に付く帯が 2 本なので、増える割合が $2 x$ になります。角の小さな正方形は伸ばす幅の 2 乗なので、幅を縮めると先に消える。

$f (t) = t^{2}$ で表される運動の、 $4$ 秒後の速さはいくつですか。

$16$
$8$
$4 + h$

__RESULT__

導関数が $2 t$ なので $2 \times 4 = 8$ です。 $16$ は $4$ 秒後の位置 $f (4)$ 、 $4 + h$ は $2$ 秒後の平均の速さにあたります。

平均をならすのをやめて、幅を $0$ へ送る。微分でやっているのはこれだけです。

参考文献

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

Paul Dawkins. *Tangent Lines and Rates of Change*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Derivative. Encyclopedia of Mathematics.

スピードメーターの 60 と、2 時間で 100 キロ走った車の平均時速 50 は別の数です。前者は 1 点での値、後者は区間をならした値。位置の関数で 5 秒後から $5 + h$ 秒後までの平均の速さを書き、$h$ を $0$ へ近づけると 1 点での速さが残る。$t^2$ なら 2 秒後が 4、3 秒後が 6、5 秒後が 10 で、まとめた $2t$ が導関数です。落下の $5t^2$、正方形の面積 $x^2$ でも同じ 3 段でたどれる。グラフでは 2 点を結ぶ直線が接線へ寄っていく動き。