負の指数と指数法則（2 のマイナス 3 乗が 8 分の 1 になる決め方）

$2^{-3}=\frac{1}{8}$ は、そう決めたから成り立っているのではありません。ほかの決め方をすると、指数法則が壊れます。

割り算の法則から見ていきます。$\frac{h^3}{h^5}$ を約分すると $\frac{1}{h^2}$ になる。

同じ式を $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ に当てると $h^{3-5}=h^{-2}$ です^[1]。

$$h^{-2}=\frac{1}{h^2}$$

2 つの答えはどちらも同じ式を書き直したものなので、一致していなければ筋が通りません。$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ は、この一致から決まります。

$a^0=1$ も同じ割り算から決まる

$\frac{t^8}{t^8}$ は $1$ です。割り算の法則に当てると $t^{8-8}=t^0$ になる^[1]。

$$t^0=1$$

$0$ 乗も負の指数も、新しい規則ではありません。$a^{m-n}$ という書き方を、$m<n$ の場合にも使えるようにした結果です。

指数を自然数に限っていたときの $a^n$ は「$a$ を $n$ 個かける」でした。$-3$ 個かけるという意味は作れない。

意味のほうを先に決めるのではなく、法則が続くように値を決める。負の指数はその順番で作られています。

段差が途中で変わらない。この規則正しさを保つ値が $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$ でした。

分数に直さずに計算する

$2^{-2}\times 2^{-3}$ を求めます。分数へ直してからかける道もありますが、遠回りです。

底が同じ累乗の積は指数を足すだけ。$-2$ と $-3$ を足して $2^{-5}$ です。

$$2^{-2}\times 2^{-3}=2^{-2+(-3)}=2^{-5}$$

分数に直す道を通ると $\frac{1}{4}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}=2^{-5}$ と 4 段かかります。

答えは同じでも、途中の分数で約分を誤る余地が増える。指数のまま足すほうが手数も誤りも少ない。

割り算も同じです。$\frac{2^{-2}}{2^{-5}}=2^{-2-(-5)}=2^3=8$。引き算の符号だけ気をつけます。

分母と分子を行き来する

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ は逆向きにも読めます。$\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ です。

分母にある累乗を分子へ動かすと、指数の符号が変わる。分子から分母へ動かしても同じ。

$$\frac{a^{-2}{b}^3}{a^4{b}^{-1}}=a^{-2-4}{b}^{3-(-1)}=a^{-6}{b}^4=\frac{b^4}{a^6}$$

文字ごとに指数を引き算して、最後に負の指数だけ分母へ落とす。この順で進めると分数の階段ができません。

答えを $a^{-6}{b}^4$ のままで置くか、$\frac{b^4}{a^6}$ に直すかは場面によります。式を続けるなら前者が扱いやすい。

例：分数の底

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}$ を求めます。負の指数は、分数をひっくり返す働きをします^[3]。

$${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-n}={\left(\frac{y}{x}\right)}^n$$

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ です。

規則を覚えていなくても導けます。${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}=\frac{1}{(2/3{)}^2}=\frac{1}{4/9}=\frac{9}{4}$。

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=2^3=8$ も同じ。底が $1$ より小さいと、負の指数で値は大きくなります。

例：$10$ の負のべき

$10^{-1}=0.1$、$10^{-2}=0.01$、$10^{-3}=0.001$^[2]。指数の数字が、小数点以下の桁数と一致します。

$10^{-6}$ なら $0.000001$。$0$ が 5 個並んだあとに $1$ がきます。

小さい数を書くとき、$0$ を数える代わりに指数を書けば済む。$0.0000000032$ は $3.2\times 10^{-9}$ になります。

$10^2$ と $10^{-2}$ は逆数どうし、$10^3$ と $10^{-3}$ も逆数どうしです。

底が $0$ のときだけは書けない

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ の右辺は、$a=0$ だと分母が $0$ になります。だから底が $0$ のとき、負の指数は定義されません^[2]。

$0^0$ も同じ理由で宙に浮きます。便利さから $1$ と決める場面はありますが、法則から導けるものではない^[3]。

負の指数を使うときは、底が $0$ でないことを先に確かめる。文字を含む式では、この確認がいります。

$\frac{1}{x-2}$ を $(x-2{)}^{-1}$ と書くなら、$x\ne 2$ という条件も一緒に運びます。

例：まとめて整理する

${\left(\frac{3a^2}{b^{-1}}\right)}^{-2}$ を整理します。まず、かっこの中で $b$ を分子へ上げる。

$$\frac{3a^2}{b^{-1}}=3a^{2}b$$

外の $-2$ 乗を配ると $3^{-2}{a}^{-4}{b}^{-2}$ になり、これは $\frac{1}{9a^4{b}^2}$ です。

かっこの外の指数は、中のすべての因数にかかる。$3$ にもかかるので $3^{-2}=\frac{1}{9}$ を忘れずに置きます。

例：分数の指数と重なるとき

$8^{-\frac{2}{3}}$ を求めます。符号と分数が同時に付いていますが、どちらから処理しても答えは同じ。

符号を先に外へ出すと $\frac{1}{8^{2/3}}$ になる。$8^{2/3}$ は $8$ の 3 乗根を 2 乗した値なので $2^2=4$ です。

$$8^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{4}$$

分数のほうを先に処理しても $\frac{1}{4}$ に着きます。$8^{-2}=\frac{1}{64}$ の 3 乗根が $\frac{1}{4}$。

ただし途中に出る数の大きさが違う。$64$ を通る道より、3 乗根を先にとって $2$ から始める道のほうが軽くなります。

分母を持たない書き方

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$ は $x^{-1}+x^{-2}+x^{-3}$ とも書けます。

分母が消えると、項の並びが指数の列として見える。$-1$、$-2$、$-3$ と 1 ずつ下がっています。

$1,2,4,8$ という $2$ をかけて進む列も、左へ戻せば $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$ と続く。$2^n$ の $n$ を負まで延ばすと、その左半分が同じ式で書けます。

並びに端がなくなり、$n$ をどこまで下げても同じ規則で値が決まる。負の指数の使いどころのひとつが、この延長です。

例：大きい数と小さい数をそろえる

$602000000000000000000000$ と $0.00000000000000000016$ は、桁を数えるだけで疲れます。

$10$ のべきに寄せると $6.02\times 10^{23}$ と $1.6\times 10^{-19}$。指数の符号が、大きい側か小さい側かを表します^[1]。

この形ならかけ算も指数の足し算で済む。$6.02\times 10^{23}$ と $1.6\times 10^{-19}$ の積は、$23+(-19)=4$ から $9.632\times 10^4$ です。

負の指数を用意しておく利点が、ここにあります。大きい数と小さい数を、同じ 1 本の書き方でならべられる。

補足：負の指数が使われはじめたころ

負の指数の記号を初めて書いたのは、1484 年の『三部作』にあるニコラ・シュケーです^[4]。

$12x^0=12$ のような式を書き、どんな数も $0$ 乗すれば $1$ になると述べています。この記述も史料の上では最初のもの。

割り算の結果として負の指数も現れます。$72x$ を $8x^3$ で割った答えを、いまの書き方でいう $9x^{-2}$ としました。

ただし『三部作』はほとんど流通せず、シュケーの考えは広まりませんでした。負の指数が定着するのは、そこから 2 世紀近くあとになります。

負の指数は、割り算の法則を $m<n$ まで延ばした結果です。そう見ておくと、$a^{-n}$ と $a^0$ が別々の規則ではなくなります。

出典