マイナスのべき乗：公式と計算

マイナスのべき乗は「分数」として計算します。

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \\ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \\ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \end{array}

こうなる理由は、下の式を見るとわかります。

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} 2^3 = 8 \\ 2^2 = 4 \\ 2^1 = 2 \\ 2^0 = 1 \end{array}

指数が 1 つ減るごとに、値は 2 で割られていく。だから

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} 2^{-1} = 1 \div 2 = \frac{1}{2} \\ 2^{-2} = \frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4} \end{array}

となるのです。

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1 \\ 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01 \\ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \end{array}

べき乗の積は、指数法則を使います。

$$a^{-m}\times a^{-n}=a^{-m+(-n)}=a^{-(m+n)}$$

例えば

$$2^{-2}\times 2^{-3}=2^{-2+(-3)}=2^{-5}$$

となります。下のようにマイナスのべき乗を一度分数にする必要はありません。

$$\begin{array}{rl}{2}^{-2}\times 2^{-3}& =\frac{1}{2^2}\times \frac{1}{2^3}\\ & =\frac{1}{4}\times \frac{1}{8}\\ & =\frac{1}{32}\\ & =\frac{1}{2^5}\\ & =2^{-5}\end{array}$$