半順序集合の定義と重要な例（集合族と包含関係）

半順序集合とは、「順序」が定義された集合のこと。

集合 $X$ と二項関係 $\le$ の組 $(X,\le )$ が半順序集合であるとは、すべての $a,b,c\in X$ に対して以下の 3 条件を満たすこと：

$$a\le a$$

$$a\le b\text{ and }b\le a\Rightarrow a=b$$

$$a\le b\text{ and }b\le c\Rightarrow a\le c$$

日本語で簡潔にまとめるなら

具体例

$(\mathbb{R},\le )$ は半順序集合です。任意の 2 つの実数に大小関係があり、上の三条件を満たすことは自明です。

集合族 $\mathcal{F}$ に対して、$(\mathcal{F},\subseteq )$ は半順序集合です。包含関係（含む、含まれる）は順序となり、それによって集合族は半順序集合となります。

いくら部分集合に包含関係があっても、2 つの部分集合は必ずしも比較できません。よって集合族は半順序ですが、（必ずしも）全順序ではありません。

全順序集合とは、半順序集合であり、かつ次の条件を満たすこと：

$$\forall a,b\in X,a\le b\text{ or }b\le a$$

基本的に半順序集合となる集合族も、全順序集合になることがあります。このような集合族はえてしてユニークで面白い性質をもちます。