置換積分の基本と無理関数の積分計算例

$\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x$

このとき、 $u = g (x)$ とおけば、

$\frac{d u}{d x} = g^{'} (x) \Rightarrow d u = g^{'} (x) d x$

となり、最初の積分は

$\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$

となります。これを置換積分といいます。

……と学校で教わっても「？」となるので、具体例をあげます。置換積分は部分積分と同じく、例を見て、自分で計算してなんとなくわかっていく分野です。

具体例 1

$\int 2 x cos (x^{2}) d x$

置換積分を使うと

$u = x^{2} \Rightarrow d u = 2 x d x$

$\int 2 x cos (x^{2}) d x = \int cos (u) d u = sin (u) + C = sin (x^{2}) + C$

となります！

具体例 2

$\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$

積分内に無理関数があったら、高確率で置換積分の出番です。

$u = 1 + x^{2} \Rightarrow d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$

$\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{- 1/2} d u = \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{1/2}}{1/2} + C = u + C = 1 + x^{2} + C$