置換積分の基本と無理関数の積分計算例

$$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx$$

このとき、$u=g(x)$ とおけば、

$$\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)\Rightarrow du=g^{\prime }(x)dx$$

となり、最初の積分は

$$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$$

となります。これを置換積分といいます。

……と学校で教わっても「？」となるので、具体例をあげます。置換積分は部分積分と同じく、例を見て、自分で計算してなんとなくわかっていく分野です。

具体例 1

$$\int 2x\cos (x^2)dx$$

置換積分を使うと

$$u=x^2\Rightarrow du=2xdx$$

$$\begin{array}{rl}\int 2x\cos (x^2)dx& =\int \cos (u)du\\ & =\sin (u)+C\\ & =\sin (x^2)+C\end{array}$$

となります！

具体例 2

$$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

積分内に無理関数があったら、高確率で置換積分の出番です。

$$u=1+x^2\Rightarrow du=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}du$$

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx& =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}du\\ & =\frac{1}{2}\int u^{-1/2}du\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2}+C=\sqrt{u}+C=\sqrt{1+x^2}+C\end{array}$$