どこを t と置けばいいのか？置換積分の基本と根号が入った形

$\int 2x\cos (x^2)dx$ の $x^2$ を $t$ と呼びます。$t$ を $x$ で微分すると $2x$ で、それが式の前に立っている。

$$\int 2x\cos (x^2)dx=\int \cos tdt=\sin t+C=\sin (x^2)+C$$

$\cos$ の中身に名前をつけただけで、$\cos t$ の積分に変わりました。中身の微分が式の中にそろっているとき、この置きかえが通ります。

根号が入った形でも同じです。置く場所が変わるだけ。

合成関数の微分を裏返す

$F$ の導関数を $f$ とします。$F(g(x))$ を $x$ で微分すると、外側と内側の微分がかかり合います。

$$\{F(g(x)){\}}^{\prime }=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

両辺を積分の形に書き直したものが、置換積分の式です。

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+C$$

$g(x)$ を $t$ と書けば、右辺は $F(t)+C$。つまり $t$ の世界で $\int f(t)dt$ を計算し、最後に $t$ を $g(x)$ に戻せばよいことになります。

冒頭の式では $f=\cos$、$g(x)=x^2$、$g^{\prime }(x)=2x$。$2x$ が式にそろっていたのは偶然ではなく、$\cos (x^2)$ を微分すれば必ず現れる形だからです。

$dt=g^{\prime }(x)dx$ という書き方

計算では $t=g(x)$ から $\frac{dt}{dx}=g^{\prime }(x)$ を作り、分母を払った形で書きます。

$$dt=g^{\prime }(x)dx$$

$dt$ と $dx$ は分数の分子と分母ではありませんが、置換のあいだはこの書き方で答えにたどり着きます。$dx$ を $dt$ にとり替える換算表だと思えばよい。

$t=x^2$ なら $dt=2xdx$。式の中の $2xdx$ をまるごと $dt$ に置きかえます。

型 1：中身の微分がそろっている

積の形になっていて、片方がもう片方の中身の微分になっている。この形では中身を $t$ と置きます。

見分けるときは、いちばん外側の関数の中身に目をつける。その中身を微分した式が、積のもう一方にあるかを見ます。

例 1：$3x^2(x^3+1{)}^4$

外側は 4 乗で、中身は $x^3+1$。微分すると $3x^2$ で、これが前に立っています。

$t=x^3+1$ と置くと $dt=3x^{2}dx$。

$$\int 3x^2(x^3+1{)}^{4}dx=\int t^{4}dt=\frac{t^5}{5}+C=\frac{(x^3+1{)}^5}{5}+C$$

$(x^3+1{)}^4$ を展開すると 12 次の多項式になりますが、置きかえれば $t^4$ の積分 1 行で済みます。

例 2：$x\sqrt{1+x^2}$

根号の中身は $1+x^2$ で、微分すると $2x$。式にあるのは $x$ だけで、$2$ が足りません。

$t=1+x^2$ と置くと $dt=2xdx$ だから、$xdx=\frac{1}{2}dt$ と読みかえます。

$$\begin{array}{rl}\int x\sqrt{1+x^2}dx& =\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt\\ & =\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}{t}^{3/2}+C\\ & =\frac{1}{3}(1+x^2{)}^{3/2}+C\end{array}$$

定数のずれは前に出して調整できます。足りない部分が $x$ や $x^2$ のような文字だと、この手は通らない。

例 3：$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

同じ $t=1+x^2$ で置きます。根号が分母にあっても、中身の微分がそろっていれば扱いは変わらない。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}\\ & =\frac{1}{2}\times 2\sqrt{t}+C\\ & =\sqrt{1+x^2}+C\end{array}$$

答えを微分すると $\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ になり、もとに戻ります。

型 2：根号そのものを $t$ と置く

中身の微分がそろっていないときは、根号を丸ごと $t$ と置く手があります。$t=\sqrt{\cdot }$ とし、$x$ のほうを $t$ で表す。

$t=\sqrt{x-1}$ なら $t^2=x-1$ から $x=t^2+1$、$dx=2tdt$ です。

根号が消えて、$t$ の多項式や分数式になります。

例 4：$x\sqrt{x-1}$

$t=\sqrt{x-1}$ と置きます。$x=t^2+1$、$dx=2tdt$、$\sqrt{x-1}=t$。

$$\begin{array}{rl}\int x\sqrt{x-1}dx& =\int (t^2+1)t\cdot 2tdt\\ & =2\int (t^4+t^2)dt\\ & =\frac{2}{5}{t}^5+\frac{2}{3}{t}^3+C\end{array}$$

$t=\sqrt{x-1}$ に戻します。$t^5=(x-1{)}^{5/2}$、$t^3=(x-1{)}^{3/2}$。

$$\int x\sqrt{x-1}dx=\frac{2}{5}(x-1{)}^{5/2}+\frac{2}{3}(x-1{)}^{3/2}+C$$

根号を含む式が、途中では $t^4+t^2$ という多項式に変わっていました。

例 5：$\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$

根号が 2 か所にあるので、$t=\sqrt{x}$ と置きます。$x=t^2$、$dx=2tdt$。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}& =\int \frac{2tdt}{t(1+t)}\\ & =2\int \frac{dt}{1+t}\\ & =2\log |1+t|+C\end{array}$$

$t=\sqrt{x}\ge 0$ だから $1+t>0$ で、絶対値は外せます。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}=2\log (1+\sqrt{x})+C$$

分母の $t$ と $dx$ から現れた $t$ が約分され、式が一気に短くなりました。

例 6：$\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}$

$x^3$ を $x^2\cdot x$ と割って読みます。$t=x^2+1$ と置けば $x^2=t-1$、$xdx=\frac{1}{2}dt$。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)dt\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}{t}^{3/2}-2t^{1/2}\right)+C\end{array}$$

$t=x^2+1$ に戻します。

$$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}-\sqrt{x^2+1}+C$$

奇数乗の $x^3$ から $x$ を 1 つ抜いて $dt$ にあずけ、残った $x^2$ を $t-1$ と書きかえました。

例 7：$x(2x+1{)}^5$

$t=2x+1$ と置きます。$x=\frac{t-1}{2}$、$dx=\frac{1}{2}dt$。

$$\begin{array}{rl}\int x(2x+1{)}^{5}dx& =\int \frac{t-1}{2}\cdot t^5\cdot \frac{1}{2}dt\\ & =\frac{1}{4}\int (t^6-t^5)dt\\ & =\frac{t^7}{28}-\frac{t^6}{24}+C\end{array}$$

$t=2x+1$ に戻して $\frac{(2x+1{)}^7}{28}-\frac{(2x+1{)}^6}{24}+C$。

$(2x+1{)}^5$ を展開してから $x$ をかける道もありますが、6 次の多項式を書き下すことになります。

$x$ に戻す

不定積分では、答えを $x$ の式に戻すまでが計算です。$t$ の式のまま止めると、もとの関数の原始関数になっていません。

戻すときは、置いた式をそのまま代入する。$t=\sqrt{x-1}$ なら $t^3$ は $(x-1{)}^{3/2}$、$t^5$ は $(x-1{)}^{5/2}$ です。

$\sqrt{x-1}$ の 3 乗を $(x-1)\sqrt{x-1}$ と書いてもよい。どちらでも同じ式になります。

置きかえても進まない形

$\int \sqrt{1-x^2}dx$ に $t=1-x^2$ を当ててみます。$dt=-2xdx$ ですが、式のどこにも $x$ がありません。

$$dx=\frac{dt}{-2x}=\frac{dt}{-2\sqrt{1-t}}$$

$x$ が残ってしまい、$t$ だけの積分になりません。中身の微分がそろわず、根号を $t$ と置いても $x$ が根号のまま残る形です。この型は三角関数で置きかえることになります。

置換が効くかどうかは、置いたあとに $x$ が消えるかどうかで決まります。

中身の微分がそろっていれば中身を $t$ と置き、そろっていなければ根号を $t$ と置いて $x$ のほうを書きかえる。どちらの道でも、$t$ だけの式になった時点で計算が進みます。