距離がなくても「近い」は決められる - 位相空間の定義と例

集合 $X$ の部分集合をいくつか選び、「これを開集合と呼ぶ」と宣言する。選び方が 3 つの条件を満たすとき、その族を $X$ の位相と呼びます^[1]。

距離は出てきません。にもかかわらず、連続写像も収束も閉包も、この 3 条件だけで語れる。何を近いと見なすかを、距離ではなく開集合の選び方で決める仕組みです。

位相とは開集合の族のこと

$X$ の部分集合からなる族 $\mathcal{O}$ が次を満たすとき、$\mathcal{O}$ を $X$ 上の位相といいます。

$\mathcal{O}$ の元を開集合、組 $(X,\mathcal{O})$ を位相空間と呼びます^[1]。

和のほうは無限個でもよく、交わりのほうは有限個まで。この非対称が定義の要になります。

有限交叉に限る理由

無限個の共通部分まで許すと、開集合であってほしくないものが開集合になってしまいます。

実数直線で $U_n=\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ をとります。どれも開区間なので開集合です。

$$\bigcap _{n=1}^{\infty }{U}_n=\{0\}$$

一点集合 $\{0\}$ が残る。ところが $\{0\}$ は開区間を含まないので、実数直線の開集合ではありません。

有限個なら、いちばん狭い区間がそのまま共通部分になるので開集合のまま。無限個だと「いちばん狭い」が存在しません^[1]。

例：3 点集合に入る位相

$X=\{a,b,c\}$ で、どの族が位相になるかを見ます。$\varnothing$ と $X$ は必ず入れておく。

$\{\varnothing ,\{a\},\{b\},X\}$ が落ちるのは、$\{a\}\cup \{b\}=\{a,b\}$ が族にないためです。

$\{\varnothing ,\{a,b\},\{b,c\},X\}$ も落ちる。共通部分の $\{b\}$ が足りません。

点が 3 つでも位相の入れ方は何通りもあります。有限集合の上に何個の位相が入るかは、小さい $n$ についてしか分かっていない^[1]。

例：離散位相と密着位相

どんな集合にも、両極端の位相が 2 つ入ります。

すべての部分集合を開集合とすると離散位相。どの点も単独で開集合になるので、点どうしはすべて離れています。

$\varnothing$ と $X$ だけを開集合とすると密着位相。開集合が粗すぎて、2 点を区別する手立てがありません。

この 2 つのあいだに、ほかのすべての位相が並びます。

距離があれば位相が決まる

距離空間 $(X,d)$ では、開球 $B(x,r)=\{y:d(x,y)<r\}$ が使えます。

$U\subseteq X$ が開集合であるとは、$U$ のどの点 $x$ に対しても、$B(x,r)\subseteq U$ となる $r>0$ があること。

こうして集めた族は 3 条件を満たします。距離が位相を誘導するという言い方をする^[1]。

ユークリッド空間 ${\mathbb{R}}^n$ の標準的な位相も、この手順で作られたものです。

距離は位相からは戻らない

距離から位相は作れますが、位相から距離は復元できません。

$d$ と $\min (d,1)$ は違う距離ですが、開球の族が生む開集合は同じ。同じ位相を与える距離はいくらでもあります^[1]。

距離が入らない位相もある

$X=\{a,b\}$ に $\mathcal{O}=\{\varnothing ,\{a\},X\}$ を入れます。シェルピンスキー空間と呼ばれる 2 点空間です^[1]。

$\{b\}$ は開集合ではありません。$b$ を含む開集合は $X$ だけなので、$b$ のどんな近くにも $a$ が入ってしまう。

距離空間なら $d(a,b)=r>0$ として $B(b,r)=\{b\}$ が開集合になるはず。ならないので、この位相を生む距離は存在しません。

密着位相も同じ理由で距離化できない。位相空間のほうが距離空間より広い枠組みだと分かります。

閉集合は補集合で決まる

$F\subseteq X$ が閉集合であるとは、$X\setminus F$ が開集合であることをいいます。

補集合をとる操作で、開集合の 3 条件はそのまま裏返る。閉集合は無限個の共通部分について閉じ、有限個の和について閉じます。

どちらの言葉で位相を定めても同じものが決まります。開集合の族を与えるか、閉集合の族を与えるかは書き方の違い。

開かつ閉があってよい

$\varnothing$ と $X$ は、いつでも開集合であり閉集合でもあります。日常語の「開いている」「閉じている」とは違う使い方です。

離散位相では、すべての部分集合が開かつ閉。開集合と閉集合は反対語ではありません。

開かつ閉の集合が $\varnothing$ と $X$ の 2 つだけしかない空間を、連結な空間と呼びます。数え上げるとそのまま連結性の判定になる。

近傍が「近い」を運ぶ

点 $x$ を含む開集合を、$x$ の近傍と呼びます。位相が与える情報は「どの集合が $x$ の近傍か」に尽きます^[3]。

$x$ の近傍がどれも $A$ と交わるなら、$x$ は $A$ にくっついている。この言い方で閉包も収束も定義できます。

位相空間を最初に公理化したのは 1914 年のハウスドルフで、開集合ではなく近傍のほうに条件を課す形でした^[2]。開集合を先に置く現在の書き方は、そのあとに定着したものです^[3]。

距離空間なら「半径 $r$ の球」という細かさの目盛りがありますが、一般の位相空間には目盛りがない。あるのは近傍の入れ子関係だけです。

位相の細かさを比べる

同じ $X$ 上の 2 つの位相 ${\mathcal{O}}_1\subseteq {\mathcal{O}}_2$ について、${\mathcal{O}}_2$ を細かい、${\mathcal{O}}_1$ を粗いといいます^[3]。

細かい位相は開集合を多く持つので、点を区別する力が強い。いちばん細かいのが離散位相、いちばん粗いのが密着位相です。

包含で比べるので、どの 2 つの位相も比較できるとは限りません。細かさの順序は半順序どまり。

例：余有限位相

$X$ を無限集合とし、$U$ が開集合であることを「$X\setminus U$ が有限集合、または $U=\varnothing$」と定めます^[1]。

和も有限交叉も条件を保つので位相になります。閉集合はちょうど有限集合と $X$ 全体。

この位相では、空でない開集合はどの 2 つも交わります。有限集合を 2 つ除いても無限個の点が残るためです。

開集合を選ぶという一手だけで、近さの言葉が全部使えるようになる。距離を持たない対象にも幾何を持ち込めるところが、この定義の効き目です。

出典