半順序集合の部分集合で定義される上界：最小上界とその一意性

半順序集合 $(X,\le )$ において、$u\in X$ が部分集合 $A\subseteq X$ の上界であるとは

$$\forall a\in A,a\le u$$

を満たすこと。土台となる $X$ は全順序集合である必要はありません。

半順序集合が同じでも、部分集合によって上界があったりなかったりします。

例えば整数の集合 $(\mathbb{Z},\le )$ において、部分集合 $A=\mathbb{Z}$ に上界はありません。上界 $u$ があると仮定すると、それに 1 を加えた数は上界より小さく、上界の定義に矛盾するためです。

最小上界とその一意性

半順序集合 $(X,\le )$ において、$s\in X$ が部分集合 $A\subseteq X$ の最小上界であるとは、以下の 2 条件を満たすこと。

$s$ は $A$ の上界：$\forall a\in A,a\le s$

$s$ は上界で最小：$A$ の任意の上界 $u$ に対して $s\le u$

最小上界は $\sup A$ と書きます。

最小上界は必ずしも存在しないが、存在するなら一意です。$s_1,s_2$ が $A$ の最小上界とすると、$s_1\le s_2$ かつ $s_2\le s_1$ となり、半順序集合の反対称性から $s_1=s_2$。

証明はあっけなく終わりましたが、この「最小上界の一意性」はとても重要。一意性の根本は半順序集合の定義にある反対称性です。