半順序集合 
において、
が部分集合 
の上界であるとは
を満たすこと。土台となる 
は全順序集合である必要はありません。
半順序集合が同じでも、部分集合によって上界があったりなかったりします。
例えば整数の集合 
において、部分集合 
に上界はありません。上界 
があると仮定すると、それに 1 を加えた数は上界より小さく、上界の定義に矛盾するためです。
最小上界とその一意性
半順序集合 
において、
が部分集合 
の最小上界であるとは、以下の 2 条件を満たすこと。
は 
の上界：
は上界で最小：
の任意の上界 
に対して 
最小上界は 
と書きます。
最小上界は必ずしも存在しないが、存在するなら一意です。
が 
の最小上界とすると、
かつ 
となり、半順序集合の反対称性から 
。
証明はあっけなく終わりましたが、この「最小上界の一意性」はとても重要。一意性の根本は半順序集合の定義にある反対称性です。
