陰関数定理の基本を円の方程式から考える

陰関数 $F(x,y)=0$ について、点 $(a,b)$ で $F(a,b)=0$ かつ $\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)\ne 0$ ならば、$a$ の近傍において $y=f(x)$ と表せる関数が唯一存在し、その導関数は

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$

となる。これを陰関数定理といいます。

例えば円の方程式 $x^2+y^2=1$ を考えます。

$$\begin{array}{l}F(x,y)=x^2+y^2-1\\ \\ \frac{\partial F}{\partial x}=2x\\ \\ \frac{\partial F}{\partial y}=2y\end{array}$$

$y\ne 0$ のとき、陰関数定理から

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}$$

となる。

……確かに円の導関数になっている。すばらしい定理です。

陰関数定理は、曲線や曲面が「局所的に」関数のグラフとして表現できることを主張しています。

確かに円も大域的に $y=f(x)$ とは書けないものの、例えば $0<x<0.2$ といった局所的なところで $y=f(x)$ と書けます。

陰関数定理は局所的な表現を保証しますが、局所的な $y=f(x)$ を計算するための道具ではありません。