陰関数定理の基本を円の方程式から考える

陰関数 $F (x, y) = 0$ について、点 $(a, b)$ で $F (a, b) = 0$ かつ $\frac{\partial F}{\partial y} (a, b) \neq = 0$ ならば、 $a$ の近傍において $y = f (x)$ と表せる関数が唯一存在し、その導関数は

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

となる。これを陰関数定理といいます。

例えば円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ を考えます。

$F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 \frac{\partial F}{\partial x} = 2 x \frac{\partial F}{\partial y} = 2 y$

$y \neq = 0$ のとき、陰関数定理から

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{2 y} = - \frac{x}{y}$

となる。

……確かに円の導関数になっている。すばらしい定理です。

陰関数定理は、曲線や曲面が「局所的に」関数のグラフとして表現できることを主張しています。

確かに円も大域的に $y = f (x)$ とは書けないものの、例えば $0 < x < 0.2$ といった局所的なところで $y = f (x)$ と書けます。

陰関数定理は局所的な表現を保証しますが、局所的な $y = f (x)$ を計算するための道具ではありません。