4 次対称群の置換を分類すると面白い

$S_4$ の元（置換）は、循環置換の長さで分類されます。

恒等置換

なにも変更しない置換 (1)。1 通りです。

2 元の交換（2-cycle）

(12) は、元 1 と元 2 の交換を意味します。

$S_4$ で、2 元の交換は 6 通りあります

(12)
(13)
(14)
(23)
(24)
(34)

3 元の循環（3-cycle）

(123) は

1 → 2
2 → 3
3 → 1

を意味します。3-cycle は次の 8 通り。

(123)
(132)
(124)
(142)
(134)
(143)
(234)
(243)

4 元の循環（4-cycle）

(1234) は

1 → 2
2 → 3
3 → 4
4 → 1

を意味します。$S_4$ において 4 元の循環は 6 通りです。

(1234)
(1243)
(1324)
(1342)
(1423)
(1432)

2 組の交換

2 つの異なるペアを交換する置換です。

例えば (12)(34) は、1 と 2 を交換し、3 と 4を交換します。

$S_4$ の中で、2 組を交換する順列は 3 通りです。

(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)

交代群

$A_4$ は、$S_4$ の元のうち、偶置換だけを含む群です。上の分類では

が偶置換にあたり、合計で 12 通りです。$A_4$ の元を列挙するとこうなります。

(1)

(123)
(132)
(124)
(142)
(134)
(143)
(234)
(243)

(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)