4 次対称群 S4 とは｜巡回型による分類・符号・交代群と立方体の回転

$S_{4}$ は ${1, 2, 3, 4}$ の並べかえ全体がなす群で、位数は $4! = 24$ です。どの置換も、交わらない巡回の積に一通りに分かれる。

その巡回の長さを並べたものが巡回型で、 $S_{4}$ の元はこれで 5 つに分かれます。

巡回記法の読み方

$(123)$ は、 $1$ を $2$ へ、 $2$ を $3$ へ、 $3$ を $1$ へ送る置換です。書かれていない $4$ は動かない。

$(12) (34)$ なら、 $1$ と $2$ を入れかえ、同時に $3$ と $4$ を入れかえる。交わらない巡回どうしは、順番を変えても同じ結果になる。

同じ置換に書き方が何通りかある。 $(123)$ と $(231)$ と $(312)$ は、どれも同じものです。

巡回型で 5 つに分かれる

$4$ を正の整数の和に分ける方法が、そのまま巡回型になる。 $4$ 、 $3 + 1$ 、 $2 + 2$ 、 $2 + 1 + 1$ 、 $1 + 1 + 1 + 1$ の 5 通りです。

恒等置換は $1 + 1 + 1 + 1$ にあたる。動かない番号も、長さ 1 の巡回として数に入れる約束です。

固定点を落として数えると型がずれるので、 $S_{4}$ の中では $(12)$ を $2 + 1 + 1$ 型として扱う。

例：個数を公式で数える

長さ $i$ の巡回が $m_{i}$ 個ある型について、その型に属する置換の個数は次の式で出ます。

$\frac{n !}{\prod _{i} i ^{m_{i}} m _{i} !}$

分母の $i^{m_{i}}$ は、各巡回をどの番号から書き始めてもよいぶん。 $m_{i}!$ は、同じ長さの巡回どうしを入れかえてもよいぶんである。

巡回型	個数	符号
$1 + 1 + 1 + 1$	1	偶
$2 + 1 + 1$	6	奇
$2 + 2$	3	偶
$3 + 1$	8	偶
$4$	6	奇

合計すると $1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24$ で、 $4!$ に一致する。

例：4 次巡回が 6 通りになる理由

公式を使わずに数えても、同じ答えになります。 $4$ 文字を一列に並べる方法は $4! = 24$ 通り。

ところが $(1234)$ と $(2341)$ は同じ置換なので、書き始めの 4 通りぶんを割る。 $24/4 = 6$ で、たしかに 6 通りです。

3 次巡回も同じ要領で出る。 $4$ 文字から $3$ 文字を選ぶ $4$ 通りに、書き方 $(3 - 1)! = 2$ 通りを掛けて $8$ 通りになる。

符号で偶と奇に分かれる

置換を互換の積に書いたとき、必要な互換の個数の偶奇は書き方によらない。これを符号といい、偶なら $+ 1$ 、奇なら $- 1$ とします。

長さ $k$ の巡回は $k - 1$ 個の互換の積になる。固定点まで数えた巡回の個数を $c$ とすると、符号はこの形にまとまります。

$sign (σ) = (- 1)^{n - c}$

$S_{4}$ なら、恒等置換と二重互換と 3 次巡回が偶、互換と 4 次巡回が奇。長さ 4 の巡回は互換 3 個の積なので、名前に反して奇置換です。

どの置換も互換の積に書けますが、その書き方は一通りではありません。決まるのは個数の偶奇だけで、そこから符号が定まる。

2 つの番号だけを入れかえる置換のこと。

交代群 A4

符号は $S_{4}$ から ${\pm 1}$ への準同型です。その核が交代群 $A_{4}$ になる。

偶の型は $1 + 1 + 1 + 1$ 、 $2 + 2$ 、 $3 + 1$ で、個数を足すと $1 + 3 + 8 = 12$ になる。全体のちょうど半分で、指数は 2 になる。

指数 2 の部分群はいつでも正規なので、 $A_{4}$ は $S_{4}$ の正規部分群。

クラインの四元群 V は正規

二重互換 3 つに単位元を足した集合を $V$ と書きます。

$V = {e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)}$

位数は 4 で、どの元も 2 乗すると単位元になる。巡回群ではなく、 $C_{2} \times C_{2}$ と同型です。

$V$ は $2 + 2$ 型の共役類を丸ごと含み、単位元も入っているので $S_{4}$ の正規部分群になる。 $S_{4}$ の正規部分群は ${e}$ 、 $V$ 、 $A_{4}$ 、 $S_{4}$ の 4 つだけです。

n \geq 5

の

S_{n}

正規部分群は ${e}$ と $A_{n}$ と $S_{n}$ の 3 つだけになる

S_{4}

これに加えて位数 4 の $V$ が正規部分群になり、商が $S_{3}$ になる

S4 から S3 への全射

$V$ で割った商を見ます。位数は $24/4 = 6$ で、非可換なので $S_{3}$ と同型になる。

$S_{4} / V ≅ S_{3}$

具体的な作用も書けます。 ${1, 2, 3, 4}$ を 2 つずつに分ける方法は ${12 ∣ 34}$ 、 ${13 ∣ 24}$ 、 ${14 ∣ 23}$ の 3 通りで、 $S_{4}$ はこの 3 つを置換する。

この作用の核がちょうど $V$ になる。 $n$ が 5 以上の $S_{n}$ には、こうして小さい対称群へ落ちる道がない。

元の位数の分布

巡回型が決まると、位数も決まります。位数は巡回の長さの最小公倍数になる。

恒等置換が位数 1、互換と二重互換が位数 2、3 次巡回が位数 3、4 次巡回が位数 4。個数で言えば $1$ 、 $9$ 、 $8$ 、 $6$ 個です。

位数 6 の元はない。 $4$ をどう分割しても、最小公倍数が $6$ になる形は作れないからです。

S4 の部分群は 30 個

部分群を全部数えると 30 個あります。共役で移り合うものをまとめると、11 種類になる。

位数 2 と 3

位数 2 が 9 個、位数 3 が 4 個。どれも巡回群で、正規にはならない。

位数 4

巡回群 $C_{4}$ が 3 個、クラインの四元群と同型なものが 4 個。そのうち正規なのは $V$ の 1 個だけである。

位数 6 と 8

$S_{3}$ と同型なものが 4 個、 $D_{4}$ と同型なものが 3 個。 $D_{4}$ が Sylow の 2 部分群にあたる。

位数 1 と 12 と 24

自明な部分群と $A_{4}$ と $S_{4}$ が 1 個ずつ。ここまで足すと 30 個になる。

位数 3 の 4 個が Sylow の 3 部分群です。Sylow の定理が言う個数の条件を、実際に満たしている。

A4 には位数 6 の部分群がない

Lagrange の定理は、部分群の位数が全体の位数を割るとしか言いません。逆は成り立たない。

$A_{4}$ は位数 12 で、 $6$ は $12$ の約数。それでも位数 6 の部分群はありません。

指数 2 の部分群 $H$ があるとすると、どの $g \in A_{4}$ でも $g^{2} \in H$ になる。 $g \in / H$ のとき剰余類は $H$ と $g H$ の 2 つで、 $g^{2} H = g H$ とすると $g \in H$ に戻ってしまうからです。

ところが 3 次巡回はどれも平方になっている。位数が 3 なので $(a b c) = ((a b c)^{2})^{2}$ と書けるためです。

すると $H$ が 8 個の 3 次巡回を全部含むことになり、位数 6 には収まらない。Lagrange の定理の逆が破れる、いちばん小さい例です。

立方体の回転群として見る

立方体には、向かい合う頂点を結ぶ対角線が 4 本あります。回転はこの 4 本を並べかえる。

回転は全部で 24 通りで、対角線の置換も 24 通り。この対応が同型になり、立方体の回転群は $S_{4}$ と同型です。

軸の種類が、そのまま巡回型に対応する。面の中心を通る軸の 90 度回転が 4 次巡回で 6 個、その 180 度回転が二重互換で 3 個です。

頂点を通る軸の 120 度と 240 度が 3 次巡回で 8 個、辺の中点を通る軸の 180 度回転が互換で 6 個になる。置換の側で数えた $1 + 6 + 3 + 8 + 6$ と、ぴたり合う。

共役類は巡回型そのもの

共役をとると番号が付けかわるだけなので、巡回型は変わりません。逆に同じ型なら、番号の対応を選べば移り合う。

だから共役類と巡回型が一対一に対応する。 $S_{4}$ の共役類は 5 個で、大きさは $1$ 、 $6$ 、 $3$ 、 $8$ 、 $6$ 。

$S_{4}$ の中に、位数 6 の元はいくつありますか。

1 個
4 個
1 個もない
6 個

__RESULT__

置換の位数は、巡回の長さの最小公倍数です。 $4$ をどう分割しても最小公倍数が $6$ になる形はないので、位数 6 の元は存在しません。

正規部分群が共役類の合併になることを使うと、 ${e}$ 、 $V$ 、 $A_{4}$ 、 $S_{4}$ の 4 つしかないことも数え上げで確かめられる。

よくある誤り

巡回型を数えるとき、固定点を落とすと型がずれます。

S_{4}

の中では

(12)

は

2 + 1 + 1

型です。

(123)

と

(132)

を同じ置換と思うと外します。向きが逆で、たがいに逆元です。

4 次巡回が偶置換、とは言えません。互換 3 個の積なので奇置換です。

位数 6 の元が

S_{4}

にある、とは言えません。長さの最小公倍数が

6

になる分割がありません。

Lagrange の定理の逆は成り立ちません。

A_{4}

は位数 12 ですが、位数 6 の部分群を持ちません。

V

が

A_{4}

の中だけで正規、と思うと足りません。

S_{4}

の中でも正規です。

立方体の対称性が

S_{4}

、とは言えません。

S_{4}

にあたるのは回転だけで、鏡映まで入れると位数 48 になります。

参考文献

Keith Conrad, Sign of permutations（コネチカット大学）

Keith Conrad, No subgroup of A4 has index 2（コネチカット大学）

Element structure of symmetric group:S4 - Groupprops

Subgroup structure of symmetric group:S4 - Groupprops

Symmetrische Gruppe - Wikipedia（ドイツ語）

Groupe symétrique - Wikipédia（フランス語）

S4 の 24 個の置換は巡回型で 5 つに分かれ、1 + 6 + 3 + 8 + 6 = 24 になります。この 5 つは立方体の回転とそのまま対応し、面の軸が 4 次巡回と二重互換、頂点の軸が 3 次巡回、辺の軸が互換にあたります。部分群は 30 個あるのに、正規なものは 4 つだけです。