バームクーヘン分割なら y 軸まわりの回転体が 1 本の積分で書ける

$y=\sin x$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに 1 回転させます。$0\le x\le \pi$ の山を縦の軸で回した立体。

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\sin xdx=2{\pi }^2$$

断面で切る解き方だと、$y=\sin x$ を $x$ について解くところで止まります。山の左半分と右半分で別々の式になり、積分も 2 つに割れる。

薄い筒を 1 枚ずつ重ねる数え方なら、割らずに 1 本の積分で書けます。年輪の形に似ているため、バームクーヘン分割と呼ばれます。円筒分割ということもある。

筒 1 枚の体積

半径 $x$ の位置に、厚み $\Delta x$、高さ $h$ の薄い筒を立てます。外側の円柱から内側の円柱を抜いた形。

$$\begin{array}{rl}\pi (x+\Delta x{)}^{2}h-\pi x^{2}h& =\pi h\left(2x\Delta x+(\Delta x{)}^2\right)\\ & \fallingdotseq 2\pi xh\Delta x\end{array}$$

$(\Delta x{)}^2$ は $\Delta x$ より桁が 1 つ小さく、厚みを薄くしていくと先に消えます。

切り開いて平らにしても同じ値になる。縦が $h$、横が円周の $2\pi x$、厚みが $\Delta x$ の板です。

中空円柱として計算する

厚みが薄くなくても、外と内の半径が決まっていれば体積は引き算で求められます。

軸からいちばん遠い辺までを長半径 $r$、いちばん近い辺までを短半径 $s$、高さを $h$ とする。

$$V=\pi (r^2-s^2)h$$

$r=5$、$s=2$、$h=5$ なら $\pi (25-4)\times 5=105\pi$ です。

この形をどんどん薄くして、半径の違うものを重ねたものが回転体になります。

足し上げると積分になる

$0\le a\le b$ で、$a\le x\le b$ の範囲で $f(x)\ge 0$ とします。$y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに回した立体の体積は次のとおり。

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

高さが $f(x)$、半径が $x$、厚みが $dx$。筒 1 枚の $2\pi xf(x)dx$ を $a$ から $b$ まで足しています。

$x$ をかけ忘れた $2\pi \int f(x)dx$ は、半径を無視した式になる。外側の筒ほど体積が大きいことが式に入りません。

例 1：$y=4-x^2$

$0\le x\le 2$ の部分を $y$ 軸のまわりに回します。

$$\begin{array}{rl}V& =2\pi {\int }_0^{2}x(4-x^2)dx\\ & =2\pi {\int }_0^2(4x-x^3)dx\\ & =2\pi {\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2\\ & =2\pi (8-4)=8\pi \end{array}$$

半径 $x$ に高さ $4-x^2$ をかけただけで、あとは多項式の積分になりました。

例 2：断面で切って確かめる

例 1 の立体は、$y$ 軸に垂直な断面でも切れます。$y=4-x^2$ から $x^2=4-y$ と書けるためです。

断面は半径 $x$ の円で、面積は $\pi x^2=\pi (4-y)$。

$$V=\pi {\int }_0^4(4-y)dy=\pi {\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]}_0^4=8\pi$$

例 1 と同じ $8\pi$ になりました。どちらでも解ける問題を選んで突き合わせると、$2\pi$ や $x$ のつけ忘れがその場で見つかります。

例 3：$y=\sin x$

冒頭の立体を計算します。$0\le x\le \pi$ で $\sin x\ge 0$。

$$V=2\pi {\int }_0^{\pi }x\sin xdx$$

部分積分で $x$ の次数を下げる。$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$ です。

$$\begin{array}{rl}V& =2\pi [-x\cos x+\sin x{]}_0^{\pi }\\ & =2\pi \left((-\pi \times (-1)+0)-(0+0)\right)\\ & =2{\pi }^2\end{array}$$

断面で切る解き方では、$x$ を $y$ で表すところから始まります。$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ の側と $\frac{\pi }{2}\le x\le \pi$ の側で式が分かれ、円環の内側と外側を別々に書くことになる。

例 4：2 つの曲線ではさまれた部分

$y=x$ と $y=x^2$ で囲まれた部分を $y$ 軸のまわりに回します。$0\le x\le 1$ で $x\ge x^2$。

筒の高さは上と下の差で、$x-x^2$ です。

$$\begin{array}{rl}V& =2\pi {\int }_0^{1}x(x-x^2)dx\\ & =2\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1\\ & =2\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{6}\end{array}$$

はさまれた部分でも、変わるのは高さの読み方だけ。半径はどちらの曲線を見ても $x$ のままです。

例 5：$y=\frac{1}{x}$

$1\le x\le 2$ の部分を $y$ 軸のまわりに回します。

$$V=2\pi {\int }_1^{2}x\cdot \frac{1}{x}dx=2\pi {\int }_1^{2}dx=2\pi$$

半径の $x$ と高さの $\frac{1}{x}$ が打ち消し合い、中身が $1$ になりました。

$y$ 軸に垂直な断面で切ると、$y\le \frac{1}{2}$ では外側の半径が $2$、$y\ge \frac{1}{2}$ では $\frac{1}{y}$ です。境目で式がいれかわる。

例 6：ドーナツの体積

中心が $(R,0)$、半径 $r$ の円を $y$ 軸のまわりに回します。$R>r>0$ とする。

半径 $x$ の筒の高さは、円の上半分と下半分の差です。

$$h=2\sqrt{r^2-(x-R{)}^2}$$

$$V=2\pi {\int }_{R-r}^{R+r}2x\sqrt{r^2-(x-R{)}^2}dx$$

$x=R+r\sin \theta$ と置きます。$dx=r\cos \theta d\theta$ で、$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ の範囲では $\cos \theta \ge 0$ だから根号が外れる。

$$\sqrt{r^2-(x-R{)}^2}=\sqrt{r^2-r^2{\sin }^2\theta }=r\cos \theta$$

根号と $dx$ から $\cos \theta$ が 1 つずつ現れて、${\cos }^2\theta$ になります。

$$V=4\pi {\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(R+r\sin \theta )r^2{\cos }^2\theta d\theta$$

$r\sin \theta \cdot r^2{\cos }^2\theta$ は奇関数で、対称な区間の積分が $0$ になります。残るのは $R$ の項だけ。

$$\begin{array}{rl}V& =4\pi R{r}^2{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta \\ & =4\pi R{r}^2\cdot \frac{\pi }{2}\\ & =2{\pi }^{2}R{r}^2\end{array}$$

面積と重心の道のりの積

$2{\pi }^{2}R{r}^2$ を $\pi r^2\times 2\pi R$ と読み直せます。もとの円の面積と、その中心が 1 周で動く道のりの積。

平面図形を、それと交わらない軸のまわりに回すとき、体積は図形の面積と重心の動いた道のりの積になります^[3]。パップスの定理と呼ばれるものです。

重心が軸から $d$ だけ離れていれば、1 周で動く道のりは $2\pi d$。面積を $S$ とすると体積は $2\pi dS$ です。

重心の位置が見て分かる図形なら、その場で確かめられます。

長方形と円の重心は中心、三角形の重心は 3 つの頂点の平均です。どれも円柱と円錐とドーナツの体積に合っています。

軸が $y$ 軸でないとき

回転軸が直線 $x=c$ なら、筒の半径は $x$ ではなく $x$ と $c$ の距離です。

$$V=2\pi {\int }_a^b|x-c|f(x)dx$$

図形が軸の右側にあるなら $x-c$、左側にあるなら $c-x$。絶対値を外してから積分します。

例 1 の図形を $x=-1$ のまわりに回すなら、半径は $x+1$ になる。

$$V=2\pi {\int }_0^2(x+1)(4-x^2)dx=2\pi {\left[2x^2-\frac{x^4}{4}+4x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{56}{3}\pi$$

どちらで解くか

$x$ を $y$ で表せる形なら、どちらでも解けます。表せない形、または表すと場合分けが生まれる形で、筒のほうが効いてくる^[1,2]。

$y=x{e}^{-x}$ や $y=\sin x$ のように、山が 1 つあって左右で式が分かれるものがその例です。

つまずきやすいところ

半径を $x$、高さを $f(x)$ と読み、$2\pi xf(x)$ を足し上げる。$x$ を $y$ の式に直さずに済むぶん、山が左右に分かれる形でも 1 本の積分に収まります。

参考