絶対値は外した瞬間に 2 本の不等式になる（二次不等式）

絶対値のついた不等式は、外した形が決まった時点でふつうの二次不等式に戻ります。外し方は 2 通り。

$$|A|<c⟺-c<A<c$$

$$|A|>c⟺A<-c\text{または}A>c$$

$c>0$ とします。$<$ のほうは 1 本の帯に閉じこめ、$>$ のほうは左右に振り分ける。$A$ の中身が二次式でも、この対応は変わりません。

絶対値は $0$ からの距離

$|A|$ は数直線で $A$ と原点の隔たりです。$|A|<6$ は「$0$ から $6$ より近い」という意味で、$-6$ と $6$ にはさまれた範囲。

$|A|>6$ は「$6$ より遠い」で、その帯の外側になります。

例：$|x^2-3x-4|<6$

帯に閉じこめる形なので、2 本の不等式にほどけます。

$$-6<x^2-3x-4<6$$

左側から片づけます。$x^2-3x-4>-6$ を移項して $x^2-3x+2>0$。

$(x-1)(x-2)>0$ で外側だから、$x<1$ または $x>2$。

右側は $x^2-3x-4<6$ から $x^2-3x-10<0$。$(x-5)(x+2)<0$ で内側の $-2<x<5$。

この 2 本を重ねます。

$$-2<x<1\text{または}2<x<5$$

$x=0$ で確かめると $|-4|=4<6$ で成り立ち、$x=1.5$ なら $|-6.25|=6.25$ で $6$ を超える。$1$ と $2$ のあいだが抜けているところが合っています。

グラフでは負の部分が折り返される

$y=|x^2-3x-4|$ のグラフは、$y=x^2-3x-4$ の $x$ 軸より下の部分を上へ折り返した形です。

もとの放物線は $x=-1$ と $x=4$ で $x$ 軸を切り、そのあいだが下に沈んでいる。折り返すと、そこが山になります。

$y=6$ の横線を引くと、交点は 4 つ。$|x^2-3x-4|<6$ の答えは、山と谷が $y=6$ より下にいる範囲です。

折り返した山の頂上は $6.25$ で、$y=6$ より少し高い。だから $1$ から $2$ までのあいだが答えから抜けます。

山の高さが $6$ より低ければ抜けは起きず、答えは 1 つの区間になる。$y=6$ の線を上下させると、答えの形が切り替わります。

例：$|x^2-3x-4|>6$

こんどは左右に振り分ける形。$<-6$ と $>6$ の 2 本を別々に解き、「または」で合わせます。

$x^2-3x-4<-6$ から $x^2-3x+2<0$。$(x-1)(x-2)<0$ で $1<x<2$。

$x^2-3x-4>6$ から $x^2-3x-10>0$。$(x-5)(x+2)>0$ で $x<-2$ または $x>5$。

$$x<-2\text{または}1<x<2\text{または}x>5$$

さきほどの $<6$ の答えと合わせると、境界の 4 点を除いた数直線がちょうど埋まります。$<$ と $>$ は互いの裏側になっている。

右辺が負や $0$ のとき

$|A|$ は $0$ 以上なので、右辺の値しだいで答えが即決まります。

$|x^2-1|\le 0$ なら $x^2-1=0$ で $x=\pm 1$。$|x^2-1|<-2$ は、左辺が $0$ 以上で右辺が負だから解なしです。

外す前に右辺の符号を見ておくと、この 4 つは計算せずに決まる。

中身ではなく $x$ に絶対値がつく場合

$x^2-3|x|-4<0$ は、$x$ そのものに絶対値がついています。ここで $|x{|}^2=x^2$ を使う。

$|x|=t$ とおくと、$t\ge 0$ で $t^2-3t-4<0$ になります。

$(t-4)(t+1)<0$ から $-1<t<4$。$t\ge 0$ とあわせて $0\le t<4$。

$|x|<4$ にもどして $-4<x<4$ が答えです。

$t\ge 0$ の断りを落とすと $-1<t$ の側まで残り、$|x|>-1$ という意味のない条件を引きずります。置きかえた文字の範囲を先に書いておく。

グラフは $y$ 軸について左右対称。右半分は $x^2-3x-4$ で、左半分はそれを鏡に映した形です。$x$ 軸を切るのは $x=\pm 4$ の 2 か所になります。

場合分けで解いても同じ答えに着く

$x\ge 0$ と $x<0$ に分ける道もあります。

$x\ge 0$ なら $|x|=x$ で、$x^2-3x-4<0$。$(x-4)(x+1)<0$ から $-1<x<4$ で、$x\ge 0$ とあわせて $0\le x<4$。

$x<0$ なら $|x|=-x$ で、$x^2+3x-4<0$。$(x+4)(x-1)<0$ から $-4<x<1$ で、$x<0$ とあわせて $-4<x<0$。

2 つを合わせて $-4<x<4$。置きかえの道と同じ答えになりました。

検算は絶対値をつけたまま代入する

外したあとの式ではなく、もとの形へ入れるところが目印です。

$|x^2-3x-4|<6$ の答えを $-2<x<1$ または $2<x<5$ としたなら、内側から $x=3$ を選んで $|9-9-4|=4<6$。成り立っています。

外れているはずの $x=1.5$ も試します。$|2.25-4.5-4|=6.25$ で $6$ を超え、たしかに答えの外。抜けている区間があるとき、そこを 1 点だけ試しておくと、抜けの位置まで確かめられます。