絶対値のついた二次不等式の問題とその解き方：絶対値を外して二つの不等式をつくる

絶対値のついた二次不等式はかなり難しい。

$$|x^2-3x-4|<6$$

$|A|<B$ は $-B<A<B$ を意味するため、$|x^2-3x-4|<6$ は

$$-6<x^2-3x-4<6$$

と同じこと。

これを 2 つの不等式に分けて考える。

$(1)x^2-3x-4>-6$

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} x^2 - 3x - 4 + 6 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 > 0 \\ (x - 1)(x - 2) > 0 \\ x < 1 \quad \text{or} \quad x > 2 \end{array}

$(2)x^2-3x-4<6$

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{array}{l} x^2 - 3x - 4 - 6 < 0 \\ x^2 - 3x - 10 < 0 \\ (x + 2)(x - 5) < 0 \\ -2 < x < 5 \end{array}

（1）と（2）の共通部分が二次不等式の解となる。

解答
$-2<x<1$ または $2<x<5$

ポイント

絶対値をとり、二つの式に分解する。これが絶対値つきの二次不等式を解くうえで大切。