2 次方程式における解と係数の関係

2 次方程式の解と係数の関係

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解 $α, β$ について次の等式が成り立つ。

$α + β = - \frac{b}{a} α β = \frac{c}{a}$

これを解と係数の関係という。

2 次方程式の解と係数の関係の証明

$a x^{2} + b x + c = 0$ の解が $α, β$ のとき

$a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$

となるから

$a (x - α) (x - β) = a {x^{2} - (α + β) x + α β} = a x^{2} - a (α + β) x + a α β = a x^{2} + b x + c$

一次の係数と定数項を比較すると

$- a (α + β) = b a α β = c$

となり

$α + β = - \frac{b}{a} α β = \frac{c}{a}$

となる。

次の $2$ 次方程式において、 $2$ つの解の和と積を求めなさい。

$(1) x^{2} + 3 x - 4 = 0$

$(2) 2 x^{2} + 13 x + 15 = 0$

$(3) - 2 x^{2} + 3 x + 2 = 0$

$(1)$ 　和: $- 3$ 　積: $- 4$

$(2)$ 　和: $- \frac{13}{2}$ 　積: $\frac{15}{2}$

$(3)$ 　和: $\frac{3}{2}$ 　積: $- 1$

$2$ 次方程式 $x^{2} - 2 x - 1$ の解を $α, β$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

$(1) α^{2} + β^{2}$

$(2) (α + 1) (β + 1)$

解と係数の関係から $α + β = 2$ で $α β = - 1$ である。

$(1)$

まず

$(α + β)^{2} = 2^{2} = 4$

となる。また

$(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2} = α^{2} + β^{2} - 2$

となる。よって

$α^{2} + β^{2} - 2 α^{2} + β^{2} = 4 = 6$

$(2)$

$(α + 1) (β + 1) = α β + α + β + 1 = (- 1) + 2 + 1 = 2$

高校数学、二次方程式と三次方程式の解と係数の関係。