2 次方程式における解と係数の関係

2 次方程式の解と係数の関係

$a{x}^2+bx+c=0$ の解 $\alpha ,\beta$ について次の等式が成り立つ。

$$\begin{array}{c}\alpha +\beta =-\frac{b}{a}\\ \alpha \beta =\frac{c}{a}\end{array}$$

これを解と係数の関係という。

2 次方程式の解と係数の関係の証明

$a{x}^2+bx+c=0$ の解が $\alpha ,\beta$ のとき

$$a{x}^2+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$$

となるから

$$\begin{array}{rl}a(x-\alpha )(x-\beta )& =a\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \}\\ & =a{x}^2-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta \\ & =a{x}^2+bx+c\end{array}$$

一次の係数と定数項を比較すると

$$\begin{array}{c}-a(\alpha +\beta )=b\\ a\alpha \beta =c\end{array}$$

となり

$$\begin{array}{c}\alpha +\beta =-\frac{b}{a}\\ \alpha \beta =\frac{c}{a}\end{array}$$

となる。

基本問題

次の $2$ 次方程式において、$2$ つの解の和と積を求めなさい。

$$(1)x^2+3x-4=0$$

$$(2)2x^2+13x+15=0$$

$$(3)-2x^2+3x+2=0$$

解答

$(1)$　和: $-3$　積: $-4$

$(2)$　和: $-\frac{13}{2}$　積: $\frac{15}{2}$

$(3)$　和: $\frac{3}{2}$　積: $-1$

練習問題

$2$ 次方程式 $x^2-2x-1$ の解を $\alpha ,\beta$ とするとき、次の式の値を求めなさい。

$$(1){\alpha }^2+{\beta }^2$$

$$(2)(\alpha +1)(\beta +1)$$

解答

解と係数の関係から $\alpha +\beta =2$ で $\alpha \beta =-1$ である。

$(1)$

まず

$$(\alpha +\beta {)}^2=2^2=4$$

となる。また

$$\begin{array}{rl}(\alpha +\beta {)}^2& ={\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2\\ & ={\alpha }^2+{\beta }^2-2\end{array}$$

となる。よって

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2+{\beta }^2-2& =4\\ {\alpha }^2+{\beta }^2& =6\end{array}$$

$(2)$

$$\begin{array}{rl}(\alpha +1)(\beta +1)& =\alpha \beta +\alpha +\beta +1\\ & =(-1)+2+1\\ & =2\end{array}$$