曲線上のある点における接線の方程式を求めるには、その点での微分係数（接線の傾き）がわかればよいだけです。微分の計算さえできれば、あとは直線の方程式を書くだけなので、手順そのものは非常にシンプルです。
接線の方程式の求め方
曲線 上の点 における接線の傾きは、その点での微分係数 に一致します。
直線の方程式は「通る点」と「傾き」がわかれば決まるのでした。点 を通り傾き の直線を書けばよいので、接線の方程式は
となります。中学で習った「」の形そのものです。
を微分して を求める
を代入して傾き を得る
に代入して整理する
具体例で確認しましょう。 の点 における接線を求めます。
を微分すると です。 における微分係数は なので、接線の方程式は
となります。
接線の方程式の基本問題
いくつかの問題で手順を確認してみましょう。
(1) 、点
なので、 における傾きは です。
(2) 、点
なので、 における傾きは です。
(3) 、点
なので、 における傾きは です。
(4) 、点
なので、 における傾きは です。
法線の方程式
接線に対して垂直な直線を法線といいます。2 つの直線が直交する条件は「傾きの積が 」なので、接線の傾きが のとき、法線の傾きは です。
接線と法線は直交するので、傾きの積が になるという関係から、法線の傾き が導かれます。
2 つの直線が直交する条件：傾きの積が 。
ただし、接線の傾きが （接線が水平）のときは が定義できません。この場合、法線は 軸に平行な鉛直線になるので、 という形で表します。たとえば の原点 では接線が （水平）ですが、法線は （ 軸そのもの）です。
法線の方程式の問題
(1) 、点
なので、接線の傾きは です。法線の傾きは となります。
(2) 、点
なので、接線の傾きは です。法線の傾きは となります。
(3) 、点
なので、接線の傾きは です。法線の傾きは となります。
曲線外の点から引く接線
ここまでの問題では、接線が通る点が曲線上にありました。しかし「曲線上にない点を通る接線」を求める問題もあります。このタイプは少し手間がかかりますが、考え方を押さえれば確実に解けます。
点が曲線上にあるので、微分係数を求めてそのまま直線の式を書ける。
接点が未知なので、接点の座標を文字でおいて条件から方程式を立てる必要がある。
接点の 座標を とおくと、接点は であり、接線の傾きは です。この接線が指定された点を通るという条件から についての方程式が立ち、それを解くことで接点と接線が求まります。
接点の 座標を とおく
接線の傾き と、2 点を結ぶ傾きが等しいとおく
の方程式を解いて接点を求め、接線を書く
ここで大事なのは、曲線外の点から接線が何本引けるかは点の位置によって変わるということです。放物線 の場合、放物線の「下側」にある点からは接線が 2 本引けますが、放物線上の点からは 1 本だけです。これは の方程式の解の個数に対応しています。
(1) 、点 を通る接線
は曲線 の上にありません（）。接点を とおきます。
より接線の傾きは です。この接線が も通るので、2 点 と を結ぶ傾きも に等しくなります。
両辺に を掛けて整理すると、
または となり、接点は と の 2 つです。
のとき、傾きは なので、
のとき、傾きは なので、
検算として、どちらの接線も を通ることを確認しておきましょう。、。確かに通ります。
(2) 、点 を通る接線
です。接点を とおくと、傾きは であり、 を通る条件から、
右辺を整理して、
のとき、接点は 、傾きは です。
のとき、接点は 、傾きは です。
どちらの接線も 切片が になっているのは、 を通る条件から当然の結果です。
(3) 、点 を通る接線
です。接点を とおくと、傾きは であり、
右辺の分子を整理して とし、分母の を掛けます。
を試すと なので は解です。因数分解すると、
の判別式は なので実数解を持ちません。よって のみが解であり、この点からは接線が 1 本だけ引けます。
接点は 、傾きは なので、
3 次関数の場合、 の方程式が 3 次になるため、実数解が 1 個または 3 個になります。
2 次の因数の判別式が負なら実数解は 1 個、正なら 3 個（接線が 3 本引ける）。
練習問題
の点 における接線の傾きは？
の点 における法線の傾きは？
の点 における接線の方程式は？
接線の傾きが のとき、法線の方程式はどうなる？
- の形（鉛直線）
- 法線は存在しない
- 傾き の直線
曲線外の点から接線を引くとき、最初にすべきことは？
- 微分係数を直接求める
- 接点の座標を文字でおく
- 法線の傾きを求める
- グラフを描く
接線の方程式は「微分係数＝傾き」という関係に尽きます。曲線上の点での接線は微分して代入するだけ、曲線外の点を通る接線は接点を文字でおいて方程式を解くだけです。法線も接線の傾きから で求まりますが、傾きが のときだけは鉛直線になることを忘れないようにしましょう。どのパターンも手順は決まっているので、計算を正確にこなすことが最も大切なポイントです。
