三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められますが、座標やベクトルが与えられている場合、高さを直接求めるのは手間がかかりま...

代数幾何では、幾何学的対象（代数多様体）を可換環（座標環）を通じて研究します。曲線や曲面の形状・特異点・交叉といった幾何学的性質...

三角形の重心は 3 つの中線が交わる点で、位置ベクトルを使うと非常にシンプルな公式で表せます。この公式は図形問題で繰り返し登場す...

二重に並んだ数の和 $\sum_{m,n} a_{mn}$ を計算するとき、「先に $m$ で足してから $n$ で足す」のと「...

可換環のイデアルに関する完備化は、局所化と並ぶ重要な「環を変える」操作です。完備化と平坦性の間には深い関係があり、特にネーター環...

群論には未解決だった期間の長さや問題の深さで際立つ問いがいくつかありますが、Burnside 問題はその代表格です。問い自体は素...

座標平面上の点を扱うとき、原点からのベクトルを「位置ベクトル」と呼びます。位置ベクトルを使うと、線分の内分点や外分点の座標を公式...

2 つのベクトルが平行か垂直かを判定する場面は、図形問題や座標平面上の計算で頻繁に登場します。判定には「実数倍」と「内積」という...

可換環上の加群を調べるとき、自由加群の概念だけでは不十分な場面が多く現れます。局所自由加群と有限表示加群は、自由加群を一般化しつ...

冪等元は $e^2 = e$ を満たす元であり、環の直積分解やイデアルの分裂と直結する概念です。前回の記事では冪等元と直積の関係...

代数幾何学では、曲線や曲面の上にある「特別な場所」を代数的に記述する道具が必要になります。たとえば、ある関数が零点を持つ場所や極...

可換環の直積は、複数の環を組にして新しい環を作る操作です。逆に、1 つの環がいつ直積に分解できるかという問題は、冪等元の理論と密...

群の表現とは、群の元をベクトル空間上の線型変換として実現することです。抽象的な群の構造を、行列という具体的で計算しやすい対象に翻...

中国剰余定理は整数論でよく知られた定理ですが、可換環の言葉で定式化すると、イデアルの互いに素という条件のもとで剰余環が直積に分解...

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、軌道の数を求める問題は組合せ論で頻繁に現れます。素朴に数えようとすると「回転して...

可換環 $R$ のイデアルに対しては、和・積・交叉・商という 4 つの基本的な演算が定義されます。これらの演算はイデアルの集合に...

行列を未知数とする方程式を行列方程式と呼びます。$AX = B$ のような単純な形であれば $X = A^{-1}B$ で解けま...

ベクトルをある部分空間に「落とす」操作を射影と呼びます。この操作を行列で表したものが射影行列であり、射影行列は $P^2 = P...

置換積分は、被積分関数の中に合成関数の構造を見抜き、変数を置き換えることで積分を簡単にする手法です。ここでは様々なパターンの置換...

連立一次方程式を行列とベクトルで表すと $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ という形になります。ここで $A$...

行列式は正方行列に対して定義されるスカラー値の関数であり、行列が正則かどうかを判定する基本的な道具です。行列式にはいくつかの重要...

関数級数 $\sum f_n(x)$ の和として定義された関数を微分したり積分したりするとき、$\sum$ と $\frac{d...

関数列 $\{f_n\}$ が極限関数 $f$ に「収束する」とはどういうことかを考えるとき、各点収束と一様収束という 2 つの...

有界な数列は、どんなに複雑に振動していても、必ずどこかに収束する部分列を含んでいます。これがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定...