任意の位相空間に定義できる特異ホモロジーを、標準単体・特異鎖群・境界作用素から解説します。一点・円周 S^1・球面 S^n・トー...

複素正方行列のうち共役転置に等しいエルミート行列（A = A†）を、固有値がすべて実数になる証明から解説します。パウリ行列などの...

関数の連続性を定義するイプシロンデルタ論法（ε-δ論法）を、誤差 ε に δ で応える直感から解説します。一次関数・二次関数・平...

微分方程式の初期値問題で解の存在と一意性を保証するピカールの定理（ピカール・リンデレフの定理）を、計算例を中心に解説します。リプ...

ファイバー束（ファイバーバンドル）を、円柱とメビウスの帯の対比から直感的に解説します。局所自明性という定義の意味、被覆空間・ベク...

行の基本変形による掃き出し法（ガウスの消去法・ガウス・ジョルダン法）を、2×2 から 3×3・長方形まで 9 つの例題で解説しま...

正則行列（可逆行列）と逆行列の存在条件を、行列式・階数・一次独立などの同値条件から、線型写像としての幾何的意味、性質の証明、掃き...

位相空間における稠密集合と疎集合を、定義と同値条件から、有理数・整数・カントール集合などの具体例、「内部が空」と「疎」の違い、可...

ザイフェルト・ファン・カンペンの定理を使い、空間を部分に分けて基本群を計算する方法を、自由積・融合積の基礎からトーラス・実射影平...

単体複体と境界作用素を使い、位相空間の「穴」をホモロジー群として数える方法を、定義から円周の具体計算、ねじれ、オイラー標数、パー...

数万年後まで人間の文明があったら、彼らは望遠レンズで数千万光年離れた文明を観察しているかもしれない。この仮定は「私たちさえも別の...

二次式 $ax^2 + bx + c$ がすべての実数 $x$ に対して正の値をとり続ける、あるいは負の値をとり続ける条件は、二...

二次方程式が重解をもつとき、対応する二次不等式の解は通常のパターンとは異なる書き方になります。放物線が $x$ 軸に「接する」と...

二次不等式を解く手順の中心にあるのは、対応する二次方程式を解くことです。$ax^2 + bx + c > 0$ を解くには、まず...

二次不等式を解いた後、その範囲に含まれる整数の個数を問う問題は入試でもよく出題されます。不等式を解くこと自体は基本通りですが、そ...

「$ax^2 + bx + c < 0$ が解をもたないような定数 $k$ の範囲を求めよ」という問題は、裏を返せば「$ax^2...

「$ax^2 + bx + c > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような $a$ の範囲を求めよ」のように、不等式が常...

二次不等式では、不等号に等号がつくかどうかで解の書き方が変わります。$<$ と $\leq$、$>$ と $\geq$ の違いは...

$x^2$ の係数が 1 である 2 次式、たとえば $x^2 + 5x + 6$ なら、掛けて 6・足して 5 になる 2 数...

二次不等式を解くとき、因数分解できるケースは比較的わかりやすいですが、判別式 $D < 0$ のケースでは事情が変わります。二次...

因数分解とは、ひとつの式をいくつかの因数の積の形に変換する操作です。展開の逆の操作ともいえます。たとえば $x^2 + 5x +...

数学Ⅲでは指数関数 $e^x$ と対数関数 $\log x$ の微分が登場する。どちらもネイピア数 $e$ と深く結びついており...

数学Ⅱでは多項式についてのみ微分を扱ったが、数学Ⅲでは $e^x$ や $\sin x$、$\log x$ など多様な関数が登場...

数体のデデキントゼータ関数を定義し、オイラー積表示・解析接続・関数等式・類数公式との関係を解説する