σ 加法族の定義と具体例

集合 $X$ について、$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$ が以下の 3 条件を満たすとき $X$ 上の σ 加法族であるという。

$X\in \mathcal{F}$

$A\in \mathcal{F}\Rightarrow X\setminus A\in \mathcal{F}$

任意の列 $A_1,A_2,A_3,\cdots \in \mathcal{F}$ に対して

$$\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$$

ざっくり言うと、σ 加法族は「測れる」部分集合の族となります。「歪んだ解釈を垂れるな！」と怒られること承知でもっと不正確に言うなら

σ 加法族の元（$X$ の部分集合 $A$）は、長さや面積が定義されたところです。

抽象的な集合は一般的に「距離」や「面積」といった概念はありません。なんて使いにくい。微分積分といった学問は「距離」があって初めて適用できる。「距離」のない抽象的な集合は微分積分と縁がない分野だ！

……とはならず、抽象的な集合にも（ユークリッド空間ほどでないにしても）距離みたいな概念があるかもよ？　という話をするとき、σ 加法族を使います。

具体例：サイコロ

サイコロの出目 $X=1,2,3,4,5,6$ において、すべての部分集合 $\mathcal{P}(X)$ は σ 加法族。

具体例：有限集合のべき集合

$X=\{1,2\}$ の冪集合は

$$\mathcal{P}(X)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$$

部分集合 $\{1\}$ から生成される

$$\mathcal{F}=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$$

は最小の σ 加法族。