分母をまるごと t と置く分数関数の積分｜高校数学III の置換積分

$\int \frac{2x}{x^2+1}dx$ の分母に $t$ という名前をつけます。$t=x^2+1$ なら $dt=2xdx$ で、分子がまるごと $dt$ に変わる。

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\int \frac{dt}{t}=\log |t|+C=\log (x^2+1)+C$$

$x^2+1$ はつねに正だから、絶対値は外して書けます。

分子が分母の微分になっていない形でも、分母に名前をつける手は使えます。そのとき分子のほうを $t$ で書き直すことになる。

分母を $t$ と置く

$t=(\text{分母})$ と置いたら、式に残った $x$ をすべて $t$ で表します。残せるのは $t$ と $dt$ だけ。

分子が $dt$ にちょうど吸われる形なら $\int \frac{dt}{t}$ になり、答えは $\log |t|$ です。

吸われずに $x$ が残る場合は、$t$ の式に直してから積分します。分母を 1 次式や 2 次式にすると、この書き直しがそのままできる。

例 1：定数倍だけずれている

$$\int \frac{x}{x^2+3}dx$$

$t=x^2+3$ とすると $dt=2xdx$ で、分子の $xdx$ は $\frac{1}{2}dt$ にあたります。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{x^2+3}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t}\\ & =\frac{1}{2}\log |t|+C\\ & =\frac{1}{2}\log (x^2+3)+C\end{array}$$

ずれが定数倍だけなら、前に出して調整できます。

例 2：分子の次数のほうが高い

$$\int \frac{x^3}{x^2+1}dx$$

$t=x^2+1$ と置きます。$dt=2xdx$ です。$x^{3}dx$ を $x^2\cdot xdx$ と割り、$x^2=t-1$ と読みかえる。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3}{x^2+1}dx& =\frac{1}{2}\int \frac{t-1}{t}dt\\ & =\frac{1}{2}\int \left(1-\frac{1}{t}\right)dt\\ & =\frac{1}{2}\left(t-\log |t|\right)+C\end{array}$$

$t=x^2+1$ に戻します。定数の $\frac{1}{2}$ は積分定数に吸わせてよい。

$$\int \frac{x^3}{x^2+1}dx=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\log (x^2+1)+C$$

微分すると $x-\frac{x}{x^2+1}=\frac{x^3+x-x}{x^2+1}$ となり、もとの式に戻りました。

1 次式を $t$ と置く

分母が $(x+a{)}^n$ の形なら、$t=x+a$ と置くと分子も $t$ の多項式になります。$x=t-a$ を代入するだけ。

割り算で帯分数に直す道もありますが、分母が 3 乗や 5 乗のときは置換のほうが行数が短い。

例 3：$\frac{x}{(x+1{)}^3}$

$t=x+1$ と置きます。$x=t-1$、$dx=dt$。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{(x+1{)}^3}dx& =\int \frac{t-1}{t^3}dt\\ & =\int \left(t^{-2}-t^{-3}\right)dt\\ & =-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+C\end{array}$$

$t=x+1$ に戻して、次のとおり。

$$\int \frac{x}{(x+1{)}^3}dx=-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1{)}^2}+C$$

分子の $x$ を $t-1$ に直したことで、$t$ の負べきの和になりました。

例 4：$\frac{x^2}{(x+1{)}^5}$

同じ置き方です。$x^2=(t-1{)}^2=t^2-2t+1$。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2}{(x+1{)}^5}dx& =\int \frac{t^2-2t+1}{t^5}dt\\ & =\int \left(t^{-3}-2t^{-4}+t^{-5}\right)dt\\ & =-\frac{1}{2t^2}+\frac{2}{3t^3}-\frac{1}{4t^4}+C\end{array}$$

$t=x+1$ に戻せば答えです。分子を展開する手間だけで、あとはべきの積分が並ぶ。

根号を $t$ と置く

分母に根号があるときは、根号のほうに名前をつけます。$t=\sqrt{\cdot }$ とし、両辺を 2 乗して $x$ を $t$ で表す。

根号が消えて、$t$ の分数式になります。

例 5：$\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

$t=\sqrt{x}$ と置きます。$x=t^2$、$dx=2tdt$、$t\ge 0$。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}& =\int \frac{2t}{t+1}dt\\ & =2\int \left(1-\frac{1}{t+1}\right)dt\\ & =2t-2\log |t+1|+C\end{array}$$

$t\ge 0$ だから $t+1>0$ で、絶対値は外れます。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+1}=2\sqrt{x}-2\log (\sqrt{x}+1)+C$$

$\frac{2t}{t+1}$ を $2-\frac{2}{t+1}$ と割ったところが計算の山です。分子の次数が分母と同じなら、まず割る。

例 6：$\frac{1}{x\sqrt{x+1}}$

$t=\sqrt{x+1}$ と置きます。$t^2=x+1$ から $x=t^2-1$、$dx=2tdt$。

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}=\int \frac{2tdt}{(t^2-1)t}=\int \frac{2}{t^2-1}dt$$

分母の $t$ と $dx$ から現れた $t$ が約分されました。$t^2-1=(t-1)(t+1)$ だから、2 つの分数の差に割れる。

$$\frac{2}{t^2-1}=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}$$

右辺を通分すると $\frac{(t+1)-(t-1)}{(t-1)(t+1)}=\frac{2}{t^2-1}$ になり、もとに戻ります。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{2}{t^2-1}dt& =\log |t-1|-\log |t+1|+C\\ & =\log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\end{array}$$

$t=\sqrt{x+1}$ に戻して、次の形になります。

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}=\log \left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C$$

分母が消える点をまたがない

例 6 の式は $x=0$ で分母が $0$ になります。$x=-1$ では根号の中も $0$。

つまり $x>0$ の側と $-1<x<0$ の側で、別々の原始関数になっています。$x=-3$ から $x=3$ までの定積分は書けません。

$\log$ の中に絶対値がついているのは、この 2 つの側をまとめて 1 本の式で書くためです。区間をまたいでよいという意味ではない。

微分して確かめる

置換の答えは、微分すればその場で確かめられます。例 3 の答えを微分してみます。

$${\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2(x+1{)}^2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{(x+1{)}^3}$$

通分すると $\frac{(x+1)-1}{(x+1{)}^3}=\frac{x}{(x+1{)}^3}$ で、もとの式に戻りました。

$t$ に戻し忘れた答えや、$dx$ を $dt$ に換算し忘れた答えは、この 1 行で落ちます。

分母に名前をつけ、残った $x$ を $t$ の式に直す。分子が $dt$ に吸われれば $\log$ が現れ、吸われなければ $t$ の多項式や負べきの和になります。