置換積分を使った分数関数の積分

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx$$

$x^2+1$ の微分が $2x$ なので $t=x^2+1$ と置換します。

$$dt=2xdx$$

したがって

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\int \frac{1}{t}dt=\log |t|+C$$

もとの変数に戻す。

$$\log |x^2+1|+C$$

$x^2+1>0$ なので絶対値は外す。

$$\log (x^2+1)+C$$

応用問題

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x+1}}dx$$

$t=\sqrt{x+1}$ とすると

$$t^2=x+1\Rightarrow x=t^2-1,dx=2tdt$$

よって

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x+1}}dx=\int \frac{1}{(t^2-1)t}\cdot 2tdt=\int \frac{2}{t^2-1}dt$$

$t^2-1=(t-1)(t+1)$ を使って部分分数分解する。

$$\frac{2}{t^2-1}=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}$$

よって

$$\begin{array}{rl}\int \frac{2}{t^2-1}dt& =\int \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt\\ & =\log |t-1|-\log |t+1|+C\\ & =\log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\end{array}$$

$t=\sqrt{x+1}$ に戻す。

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x+1}}dx=\log \left|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C$$