置換積分を使った分数関数の積分

$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$

$x^{2} + 1$ の微分が $2 x$ なので $t = x^{2} + 1$ と置換します。

$d t = 2 x d x$

したがって

$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t = lo g ∣ t ∣ + C$

もとの変数に戻す。

$lo g ∣ x^{2} + 1∣ + C$

$x^{2} + 1 > 0$ なので絶対値は外す。

$lo g (x^{2} + 1) + C$

応用問題

$\int \frac{1}{x x + 1} d x$

$t = x + 1$ とすると

$t^{2} = x + 1 \Rightarrow x = t^{2} - 1, d x = 2 t d t$

よって

$\int \frac{1}{x x + 1} d x = \int \frac{1}{( t ^{2} - 1 ) t} \cdot 2 t d t = \int \frac{2}{t ^{2} - 1} d t$

$t^{2} - 1 = (t - 1) (t + 1)$ を使って部分分数分解する。

$\frac{2}{t ^{2} - 1} = \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1}$

よって

$\int \frac{2}{t ^{2} - 1} d t = \int (\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1}) d t = lo g ∣ t - 1∣ - lo g ∣ t + 1∣ + C = lo g \frac{t - 1}{t + 1} + C$

$t = x + 1$ に戻す。

$\int \frac{1}{x x + 1} d x = lo g \frac{x + 1 - 1}{x + 1 + 1} + C$