導来関手はホモロジー代数における中心概念であり、Tor や Ext はその具体例である。射影分解や入射分解を通じて定義され、圏論...

Ext 関手は Hom 関手の導来関手であり、加群の拡大を分類する道具である。射影次元や深さの計算、さらには双対性理論において中...

Tor 関手はテンソル積の導来関手であり、加群の平坦性を測る道具である。ホモロジー代数における基本的な関手の一つで、環と加群の構...

加群の深さ（depth）は、正則列の長さで測られる不変量である。次元と並ぶ重要な概念であり、Cohen-Macaulay 環の定...

Krull の標高定理（Hauptidealsatz）は、ネーター環における素イデアルの高さに関する基本定理である。単項イデアル...

Krull の交叉定理は、ネーター環においてイデアルの冪の共通部分がどうなるかを述べる。完備化の理論と密接に関係し、局所環論にお...

前回の記事で、交換子 $[A, B] = ABA^{-1}B^{-1}$ がルービックキューブの解法に不可欠な道具であることを見...

ルービックキューブを解くとき、最大の難関は「他のパーツを崩さずに少数のパーツだけを動かす」ことだ。群論はこの問題に対して、交換子...

形式的滑らかさは、環準同型の「微分的なよさ」を捉える概念である。代数幾何学における滑らかな射の代数的定式化であり、ケーラー微分と...

ヘンゼル環とヘンゼルの補題は、局所環における多項式の因数分解を扱う理論である。完備局所環がヘンゼル環の典型例であり、代数方程式の...

大きなべき乗の余りを直接計算するのは大変です。$7^{100}$ を 5 で割った余りを求めようとして、$7^{100}$ を実...

$I$-進位相と完備化は、局所的な性質を詳しく調べるための道具である。形式的冪級数環が多項式環の完備化として得られるように、完備...

被約環と既約成分は、環のスペクトルを幾何学的に理解するための基本概念である。被約性はニルポテント元の不在を意味し、既約成分はスペ...

フェルマーの小定理は、素数に関する整数論の基本的な定理です。大きなべき乗の余りを求める問題で威力を発揮し、暗号理論の基礎にもなっ...

前回までの記事で、ルービックキューブ群の位数が $43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000$...

コンピュータの世界では、2 進法と 16 進法が頻繁に使われます。コンピュータ内部ではすべてのデータが 0 と 1 で表現される...

3 次関数の式が未知で、極値に関する条件だけが与えられている問題がある。「$x = 1$ で極大値 $5$ をとり、$x = 3...

加群の台（サポート）と随伴素イデアルは、加群の「局所的な振る舞い」を素イデアルを通じて捉える概念である。加群がどこで非ゼロか、ど...

ルービックキューブの全状態数――すなわちルービックキューブ群の位数――は約 4325 京（$4.33 \times 10^{19...

10 進法の数を $n$ 進法に変換するには、$n$ で繰り返し割っていく方法を使います。商が 0 になるまで割り続け、出てきた...

フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限和として表す手法です。偏微分方程式の変数分離法と組み合わせることで、熱方程式や波動方程式...

私たちが普段使っている数の表し方は 10 進法です。0 から 9 までの 10 種類の数字を使い、位が上がるごとに 10 倍にな...

ラプラス方程式は、定常状態や平衡状態を記述する楕円型偏微分方程式です。電磁気学の静電場、流体力学のポテンシャル流れ、定常熱分布な...

1次不定方程式は、日常的な場面を題材にした応用問題として出題されることが多いです。ここでは代表的なパターンを見ていきます。 両替...