代数的整数論において「類数は有限である」という事実は基本的な定理の一つだが、その証明の核心にあるのがミンコフスキーの凸体定理であ...

有限次元の線形代数では、実対称行列（あるいはエルミート行列）は必ず直交対角化できる。固有値を対角成分に並べた対角行列と、固有ベク...

作用素 $T$ のスペクトルを調べるとは、$(T - \lambda I)$ が可逆かどうかを $\lambda$ ごとに判定す...

線形代数で学ぶ固有値・固有ベクトルは、有限次元の行列に対する理論だ。行列 $A$ に対して $Ax = \lambda x$ を...

曲線の長さ（弧長）を求める問題は、面積や体積と並ぶ積分の重要な応用だ。直線の長さは 2 点間の距離で求まるが、曲がった線の長さは...

コンパクト作用素の理論は抽象的に見えるが、具体例を通じて理解すると見通しがよくなる。ここでは代表的なコンパクト作用素を取り上げ、...

ヒルベルト・シュミット作用素は、コンパクト作用素のなかでもさらに「よい性質」をもつクラスだ。行列のフロベニウスノルムの無限次元版...

フレドホルム理論は、コンパクト作用素による摂動 $I - T$ の可逆性や解の構造を調べる理論だ。無限次元空間における線形方程式...

レトラクトは位相空間とその部分空間の関係を記述する概念であり、ホモトピー論において中心的な役割を果たす。レトラクション、変形レト...

位相幾何学の根本的な問いは「2つの空間は本質的に同じか」である。この問いに答えるための道具がホモトピー不変量だ。ホモトピー同値な...

コンパクト作用素は、有界線形作用素のなかでも「有限次元的な振る舞い」に近い性質をもつ特別なクラスだ。無限次元空間の解析において中...

曲線が $y = f(x)$ の形で与えられていれば面積は $\int f(x)\,dx$ で求まるが、曲線が媒介変数（パラメー...

有理関数（分数関数）の積分で、分母が因数分解できるなら部分分数分解が定石だ。複雑な分数式をシンプルな分数の和に分解し、それぞれを...

位相空間の「穴」を代数的に検出する最も基本的な道具が基本群だ。ループのホモトピー類に群構造を入れることで、空間の位相的性質を群論...

線形写像は抽象的な概念だが、基底を選ぶことで行列として具体的に表現できる。この対応関係を理解することで、線形写像の性質を行列の計...

被積分関数にルート $\sqrt{a^2 - x^2}$ や $\sqrt{x^2 + a^2}$ のような無理式が含まれる場合...

二次曲線を統一的に理解するうえで欠かせないのが離心率（eccentricity）という概念だ。離心率は曲線の「開き具合」を数値化...

線形空間 $V$ の部分空間 $W$ で「割る」ことで、新たな線形空間を構成できる。これが商空間であり、抽象代数学における商構成...

楕円の媒介変数表示では三角関数 $\cos\theta$、$\sin\theta$ を用いるが、双曲線ではこれに対応する「双曲線...

線形空間を扱ううえで、空間を「きれいに分割する」方法を理解することは非常に重要である。直和はその中心的な概念であり、部分空間の和...

双曲線は楕円と同じく二次曲線の一種だが、その形状は大きく異なる。楕円が「2 つの焦点からの距離の和が一定」であるのに対し、双曲線...

$n$ 次正方行列の行列式を厳密に定義するには、置換という概念が必要になる。ここでは置換の基本的な性質を整理したうえで、行列式の...

数学的帰納法は等式の証明に使われることが多いが、不等式の証明にも非常に強力な手法である。ただし、等式の場合と比べていくつか特有の...

漸化式は数列の問題だけに登場するわけではない。図形の分割や確率の推移など、一見すると数列とは無関係に見える問題でも、漸化式を立て...